Συμπληρώστε ..

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συμπληρώστε ..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 26, 2011 2:37 pm

Προεκτείνω την πλευρά BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , κατά τμήμα \displaystyle CD=\frac{BC}{2} , και σχεδιάζω

το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο CDE , με το E στο ίδιο (ως προς BD ) ημιεπίπεδο με το A.

Δείξτε ότι οι γωνίες \phi =\hat{AEB} και \omega  = \hat{ADB} , είναι συμπληρωματικές .
Συνημμένα
Συμπληρωματικές . png.png
Συμπληρωματικές . png.png (30.83 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Συμπληρώστε ..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Τρί Απρ 26, 2011 3:29 pm

Λοιπόν...

Προεκτείνω την BD κατά DZ = CD. Στο τριγ. ABZ: C μέσο και EC//AB άρα και Ε μέσο. Επίσης 2ΑC = BZ άρα \widehat{BAZ} = 90. Στο τριγ. CEZ: 2ED = CZ άρα \widehat {CEZ} = 90. Τώρα έχουμε: \displaystyle{\phi  =  180 - 90 - 180 + 120 + \widehat{EBC} =  30 + \widehat {EBC}... \omega = 180 - 60 - 60 - \widehat{CAD} = 60 - \widehat{CAD}}. Τώρα αρκεί νδο \widehat{EBC} = \widehat{CAD}. Τα τριγ. ΕBC και ΑCD είναι ίσα από Π-Γ-Π ( ΑC = BC, ACD = BCE , CE = CD) άρα \widehat{EBC} = \widehat{CAD}.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Συμπληρώστε ..

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Απρ 26, 2011 3:46 pm

Έστω F το σημείο τομής των BD,\,AE και AG το ύψος του ισοπλεύρου ABC .

Τα τρίγωνα ACG,\,ACE είναι ίσα (Π-Γ-Π), οπότε A\widehat EC = {90^ \circ } και \widehat F = {30^ \circ }.

Εφόσον GA = AE,\,G\widehat AE = {60^ \circ }, το τρίγωνο AGE είναι ισόπλευρο.

Τα τρίγωνα AED,\,EGB είναι ίσα (Π-Γ-Π: προκύπτει εύκολα από τις χρωματιστές πλευρές και απ’ τα αθροίσματα των γωνιών - G\widehat EC = {30^ \circ } απ’ το ισοσκελές CGE).

Οπότε θα έχουμε: E\widehat AD = B\widehat EG = x, \widehat \varphi  + x = {60^ \circ }\,\,(1) και από εξωτερική γωνία \widehat \omega  = {30^ \circ } + x\,\,\,(2).

Με πρόσθεση κατά μέλη των \left( 1 \right),\left( 2 \right) προκύπτει το ζητούμενο.
Συνημμένα
Συμπληρώστε.png
Συμπληρώστε.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συμπληρώστε ..

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 27, 2011 9:32 pm

Η προθεση του θεματοθέτη ..
Συνημμένα
Συμπληρωματικές . png.png
Συμπληρωματικές . png.png (30.83 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης