Μηκος πλευρας

nonlinear · #1

Σε τριγωνο ΑΒΓ οι πλευρες ΑΒ=42 , ΑΓ=56 και το μηκος της διχοτομου της γωνιας Α ΑΔ ειναι ισο $\displaystyle{24 \cdot \sqrt 2 }$ .Να βρειτε το μηκος της πλευρας ΒΓ.

#2

Στο τρίγωνο ΑΒΓ(συνημμένο αρχείο) είναι ΑΒ=42μ.μ, ΑΓ=56μ.μ και η διχοτόμος $A\Delta =24\sqrt{2}$ .
Αν ακόμα ΒΔ=Χ και ΔΓ=ψ τότε από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και το θεώρημα του Stewart προκύπτουν οι σχέσεις αντίστοιχα:
$\frac{x}{\psi }=\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$ δηλαδή $\psi =\frac{4}{3}x$ (1)
και $x56^2+\psi 42^2=(x+\psi )(24\sqrt{2})^2+x\psi (x+\psi )$ που μετά από πράξεις γίνεται: $3136x+1764\psi =1152(x+\psi )+x\psi (x+\psi )$ (2)
Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε: x=30

και $\psi =40$ άρα $B\Gamma =x+\psi =70$

Υπολογισμός πλευράς τριγώνου.fig: (2.43 KiB) Μεταφορτώθηκε 40 φορές

Τελικά εύκολα διαπιστώνεται ότι το τρίγωνο αυτό είνα ορθογώνιο στο Α.

#3

Μια λύση ακόμα με εμβαδά:

Έστω $\displaystyle \widehat{{\rm B}{\rm A}\Delta } = \widehat{\Gamma {\rm A}\Delta } = \phi$

Είναι (ΑΒΓ) = (ΑΒΔ) + (ΑΓΔ) άρα $\displaystyle \frac{{AB \cdot A\Gamma \cdot \eta \mu 2\phi }}{2} = \frac{{AB \cdot A\Delta \cdot \eta \mu \phi }}{2} + \frac{{A\Gamma \cdot A\Delta \cdot \eta \mu \phi }}{2}$

οπότε $\displaystyle 42 \cdot 56 \cdot \eta \mu 2\phi = 42 \cdot 24\sqrt 2 \eta \mu \phi + 56 \cdot 24\sqrt 2 \eta \mu \phi$

οπότε $\displaystyle 42 \cdot 56 \cdot 2\eta \mu \phi \cdot \sigma \upsilon \nu \phi = 98 \cdot 24\sqrt 2 \eta \mu \phi \; \Rightarrow \;\sigma \upsilon \nu \phi = \frac{{98 \cdot 24\sqrt 2 }}{{42 \cdot 56 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

οπότε φ = 45°.
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα ΒΓ.
Από Πυθ. Θεώρημα $\displaystyle {\rm B}\Gamma ^2 = 42^2 + 56^2 = 4.900$
άρα ΒΓ = 70.

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #4

Μία ακόμη λύση

Πρόταση
Σε τρίγωνο ABC

με διχοτόμο

ισχύει $AD^2=AB \cdot AC-BD\cdot DC$ (1)
(σχολικό γεωμετρίας Πούλου-Ξένου – Θωμαΐδη σελ 232)

Με βάση την πρόταση αυτή αντικαθιστώντας τα ήδη γνωστά ΑΔ,ΑΒ,ΑΓ καθώς και τα τμήματα ΒΔ και ΔΓ με τα παρακάτω όπως προκύπτουν από το θεώρημα των διχοτόμων ΒΔ=(α $\cdot$ γ)/(β+γ) =α $\cdot$ 42/98 και ΔΓ=α $\cdot$ 56/98 η (1) δίνει α=70

Μηκος πλευρας

Μηκος πλευρας

Re: Μηκος πλευρας

Re: Μηκος πλευρας

Re: Μηκος πλευρας

Μέλη σε σύνδεση