Εφαπτομένη και αυτή

#1

: Εφαπτομένη και αυτή.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Από σημείο

εκτός κύκλου (O, R)

φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα SA, SB

και έστω

μία χορδή του

κύκλου. Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και η

την

στο

Να δείξετε ότι

η

εφάπτεται του κύκλου.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές (Γράψτε υποερωτήματα για την μετατρέψετε σε άσκηση εξετάσεων).

Maria-Eleni Nikolaou · #2

: Εφαπτομένη και αυτή.png (35.28 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Ισχύει: $\angle BAC=\angle{CBT}=\omega$ (γωνία χορδής - εφαπτομένης)
Ομοίως: $\angle{ABC}=\angle{CAS}=\varphi$
Επίσης: $\angle{CBS}=\angle{BSP}=\omega$ (εντός - εναλλάξ των $BC\parallel{PS}$ )
Είναι BPSA

εγγράψιμο, διότι η πλευρά

φαίνεται υπό ίσες γωνίες. Άρα: $\angle{PAS}=\angle{SBP}$
Ακόμα: BOAS

εγγράψιμο, διότι $\angle{OAS}+\angle{OBS}=180^{\circ}$ . Άρα: $\angle{OAB}=\angle{OSB}=\theta=\angle{OBA}=\angle{OSA}$
Στο τετράπλευρο BOAP

είναι: $\angle{OBP}+\angle{OAP}=2(\varphi +\omega +\theta )$ που ισούται με το άθροισμα γωνιών του τριγώνου $\triangle ABS$ , οπότε BOAP

εγγράψιμο.
Οπότε: $\angle{OAB}=\angle{BPO}=\theta$ και $\angle{OBA}=\angle{OPA}=\theta$
Έτσι, στο τρίγωνο $\triangle{BPC}$ θα πρέπει $\angle{BCP}=\omega +\varphi$ , άρα PB=PC

, δηλαδή

μεσοκάθετος του

Επομένως, αφού το

είναι σημείο της μεσοκαθέτου, ισαπέχει από τα άκρα, δηλαδή TB=TC

οπότε το τρίγωνο $\triangle{TBC}$ είναι ισοσκελές και $\angle{TBC}=\angle{TCB}=\omega =\angle{BAC}$ , δηλαδή

εφαπτομένη.

#3

Maria-Eleni Nikolaou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 30, 2022 6:23 pm
Εφαπτομένη και αυτή.png

Ισχύει: $\angle BAC=\angle{CBT}=\omega$ (γωνία χορδής - εφαπτομένης)
Ομοίως: $\angle{ABC}=\angle{CAS}=\varphi$
Επίσης: $\angle{CBS}=\angle{BSP}=\omega$ (εντός - εναλλάξ των $BC\parallel{PS}$ )
Είναι εγγράψιμο, διότι η πλευρά φαίνεται υπό ίσες γωνίες. Άρα: $\angle{PAS}=\angle{SBP}$
Ακόμα: εγγράψιμο, διότι $\angle{OAS}+\angle{OBS}=180^{\circ}$ . Άρα: $\angle{OAB}=\angle{OSB}=\theta=\angle{OBA}=\angle{OSA}$
Στο τετράπλευρο είναι: $\angle{OBP}+\angle{OAP}=2(\varphi +\omega +\theta )$ που ισούται με το άθροισμα γωνιών του τριγώνου $\triangle ABS$ , οπότε εγγράψιμο.
Οπότε: $\angle{OAB}=\angle{BPO}=\theta$ και $\angle{OBA}=\angle{OPA}=\theta$
Έτσι, στο τρίγωνο $\triangle{BPC}$ θα πρέπει $\angle{BCP}=\omega +\varphi$ , άρα , δηλαδή μεσοκάθετος του
Επομένως, αφού το είναι σημείο της μεσοκαθέτου, ισαπέχει από τα άκρα, δηλαδή οπότε το τρίγωνο $\triangle{TBC}$ είναι ισοσκελές και $\angle{TBC}=\angle{TCB}=\omega =\angle{BAC}$ , δηλαδή εφαπτομένη.

Πολύ ωραία ΕΛΕΝΗ !

Μετά το πρώτο εγγράψιμο ( που είναι και το κλειδί του προβλήματος ) μπορείς να το " μαζέψεις " το θέμα αρκετά αν παρατηρήσεις το ισοσκελές τρίγωνο και κατ ' επέκταση τον " χαρταετό " απο όπου θα προκύψει η μέσο κάθετος που απαντά στο ζητούμενο

Ενα μεγάλο μπράβο απο εμένα !

Maria-Eleni Nikolaou · #4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 30, 2022 7:11 pm

Πολύ ωραία ΕΛΕΝΗ !

Μετά το πρώτο εγγράψιμο ( που είναι και το κλειδί του προβλήματος ) μπορείς να το " μαζέψεις " το θέμα αρκετά αν παρατηρήσεις το ισοσκελές τρίγωνο και κατ ' επέκταση τον " χαρταετό " απο όπου θα προκύψει η μέσο κάθετος που απαντά στο ζητούμενο

Ενα μεγάλο μπράβο απο εμένα !

Σας ευχαριστώ πολύ!

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 30, 2022 11:10 am
Εφαπτομένη και αυτή.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω μία χορδή του

κύκλου. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και η την στο Να δείξετε ότι

η εφάπτεται του κύκλου.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές (Γράψτε υποερωτήματα για την μετατρέψετε σε άσκηση εξετάσεων).

Μιά μικρή παραλλαγή της ωραίας λύσης της μαθήτριας .
Το τετράπλευρο OASB

είναι εγγράψιμο και μάλιστα σε κύκλο διαμέτρου

, γιατί $OA \bot AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OB \bot BS$ .

Επειδή όμως BC//PS

θα είναι, $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\left( 1 \right)$ , ενώ $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\,\left( 2 \right)$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης)

: εφαπτομένη κι αυτή.png (26.96 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Έτσι από τις $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω : $\boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}}$ που μας εξασφαλίζει ότι ο πιο πάνω κύκλος διέρχεται και από το

.

Στον κύκλο αυτό, $OP \bot SP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC//PS$ οπότε $OP \bot BC$ , επί πλέον η

διχοτομεί την $\widehat {BPA}$ γιατί OB = OA

.

Δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα

που αποδεικνύει το ζητούμενο .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 30, 2022 11:10 am
Εφαπτομένη και αυτή.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω μία χορδή του

κύκλου. Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και η την στο Να δείξετε ότι

η εφάπτεται του κύκλου.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές (Γράψτε υποερωτήματα για την μετατρέψετε σε άσκηση εξετάσεων).

Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο (O)

στο

και $LB \bot BC \Rightarrow CL$ διάμετρος

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών , B,O,A,S,P

είναι ομοκυκλικά,άρα

$PO \bot PS \Rightarrow OP//LZ \Rightarrow CT=TQ\Rightarrow BT=TC$ ,άρα

εφαπτόμενο τμήμα

: εφαπτομένη κι αυτή.png (31.93 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

fogsteel · #7

: geogebra-export (14).png (168.56 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Με απλό "κυνήγι γωνιών" όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, προκύπτει πως το $\displaystyle{ASPO}$ είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle{SP \perp OP \Rightarrow CB \perp OT \Rightarrow OT}$ μεσοκάθετος της $\displaystyle{BC}$ .

Από την ισότητα των $\displaystyle{\triangle OBT}$ και $\displaystyle{\triangle OCT}$ προκύπτει το ζητούμενο.

cool geometry · #8

$\angle BSP=\angle CBS=\angle BAP\Rightarrow ABPS$ εγγράψιμο. (1)

$\angle OBS+\angle OAS=180^{0}\Rightarrow AOBS$ εγγράψιμο.(2)[/teχ]
από τις δύο πρώτες σχέσεις εύκολα προκύπτει ότι τα τετράπλευρα AOPS,BPSO

είναι εγγράψιμα με άμεση συνέπεια:
$\angle OPA=\angle ASO,\angle OPB=\angle OSB,$ όμως από το εγγράψιμο AOBS

είναι $\angle ASO=\angle OSB\Rightarrow \angle OPA=\angle OPB$ και το ζητούμενο άμεσο.

Εφαπτομένη και αυτή

Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Re: Εφαπτομένη και αυτή

Μέλη σε σύνδεση