Χαρταετός εγγράψιμος

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1412
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Χαρταετός εγγράψιμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Απρ 01, 2021 9:41 pm

Καλό μήνα σε όλους!
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png (149.05 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός BELA του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13294
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 01, 2021 10:09 pm

Από Πυθαγόρειο η κάθετος (= μεσοκάθετος) από το L στην AE είναι \sqrt {20^2-12^2} = 15. Όμοια η κάθετος σπό το B στην ίδια αυτή AE είναι 9. Άρα BL=16+9=25. Τώρα από Πυθαγόρειο τα  ALB, ELB είναι ορθογώνια, και άρα η BL διάμετρος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4849
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 01, 2021 10:16 pm

Και κάπως παρόμοια.


01-04-2021 Γεωμετρία.png
01-04-2021 Γεωμετρία.png (34.62 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές


Φέρουμε τη διαγώνιο LB, που είναι μεσοκάθετος της AE.

Με Πυθαγόρειο Θεώρημα υπολογίζουμε LO = 16, OB = 9.

Eύκολα, πλέον μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Το σχήμα καλύπτει και την απάντηση του Μιχάλη.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2032
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Απρ 01, 2021 11:55 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Απρ 01, 2021 9:41 pm
Καλό μήνα σε όλους!
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png

Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός BELA του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Οι γωνίες  \omega  , \phi  προφανώς είναι άνισες. Αν δείξουμε ότι έχουν ίδια ημίτονα τελειώσαμε

 \dfrac{(ALE)}{(ABE)}= \dfrac{400sin \omega }{225sin \phi }= \dfrac{16}{9} \Rightarrow sin \omega =sin \phi  \Rightarrow  \phi + \omega =180^0
Χαρταετός εγγράψιμμος.png
Χαρταετός εγγράψιμμος.png (51.75 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13294
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 02, 2021 2:31 am

Από τον Νόμο των συνημιτώνων στο ALE έχουμε \cos L = \dfrac {20^2+20^2-24^2}{2\cdot 20 \cdot 20} = 0,28. Όμοια, από τον Νόμο των συνημιτώνων στο BLE έχουμε \cos B = \dfrac {15^2+15^2-24^2}{2\cdot 15 \cdot 15} = -0,28. Δηλαδή \cos L = -\cos B, που σημαίνει ότι οι γωνίες B και L είναι παραπληρωματικές, όπως θέλαμε.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2060
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Απρ 02, 2021 7:36 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Απρ 01, 2021 9:41 pm
Καλό μήνα σε όλους!
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png

Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός BELA του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα

Θα αποδείξω οτι οι περίλυκλοι των τριγώνων LAE,ABE έχουν ίσες ακτίνες

(LAE)=\dfrac{20.20.24}{4R_{1}},(1), (ABE)=\dfrac{15.15.24}{4R_{2}},(2)

Από Ηρωνα είναι (LAE)=192,(ABE)=108,

Αρα R_{1}=R_{2}=\dfrac{25}{2}
Συνημμένα
Χαρταετός  εγγράψιμος.png
Χαρταετός εγγράψιμος.png (83.39 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3314
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Απρ 02, 2021 7:45 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Απρ 01, 2021 9:41 pm
Καλό μήνα σε όλους!


Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός BELA του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
shape.jpg
shape.jpg (23.18 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές
Τα ορθογώνια τρίγωνα LAM,EBM είναι όμοια και το ζητούμενο έπεται άμεσα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10377
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 02, 2021 9:56 am

Η ημιπερίμετρος του χαρταετού είναι s=35.
Χαρτ. εγγράψιμος.png
Χαρτ. εγγράψιμος.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Με Ήρωνα παίρνω \displaystyle (LABE) = (LAE) + (BAE) = 192 + 108 = 300

Αλλά, \displaystyle \sqrt {(s - 20)(s - 20)(s - 15)(s - 15)}  = 15 \cdot 20 = 300=(LABE). Άρα ο χαρταετός είναι εγγράψιμος.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 143
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Απρ 02, 2021 11:13 am

Όπως με προηγούμενες απαντήσεις, με Πυθαγόρειο υπολογίζω τα κάθετα τμήματα,
και επαληθεύω

\displaystyle{ 
LM \cdot MB = AM \cdot ME  \rightarrow 16 \cdot 9 = 12 \cdot 12 
}

ή

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
LM^2+MB^2+AM^2+ME^2 = LB^2 \rightarrow 
(20^2-12^2)+(15^2-12^2)+12^2+12^2 = 25^2 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_1xartaetos.png
rsz_1xartaetos.png (46.05 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1412
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Απρ 02, 2021 11:19 am

Kαλημέρα! Να ευχαριστήσω θερμά τους αγαπητούς Μιχάλη χ3, Γιώργο χ2 , Γιάννη και Νίκο

για τις ποικίλες προσεγγίσεις τους! Θα επανέλθω με μια ακόμη

που έχω .. :) .. -ας το θέσω ως πρό(σ)κληση-.. την αίσθηση (*), ότι μάλλον δεν θα καλυφθεί.

(*)Πιθανόν αυτή ν' αποδειχθεί απατηλή .. Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10377
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 02, 2021 12:50 pm

Χαρτ. εγγράψιμος.a.png
Χαρτ. εγγράψιμος.a.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Με Ήρωνα παίρνω \displaystyle (LABE) = (LAE) + (BAE) = 192 + 108 = 300

Αλλά, \displaystyle (LABE) = \frac{{LB \cdot AE}}{2} \Leftrightarrow 300 = 12LB \Leftrightarrow LB = 25 και με αντίστροφο του Πυθαγορείου

προκύπτει \displaystyle L\widehat AB = L\widehat EB = 90^\circ, απ' όπου και η εγγραψιμότητα.




Παρατηρώ ότι καμία λύση δεν είναι εντός φακέλου. Αν βρω κάτι με ύλη Α' Λυκείου θα επανέλθω.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1412
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Απρ 03, 2021 1:38 pm

Χαιρετώ!
george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 02, 2021 12:50 pm







Παρατηρώ ότι καμία λύση δεν είναι εντός φακέλου. Αν βρω κάτι με ύλη Α' Λυκείου θα επανέλθω.
Έβαλα το θέμα στον παρόντα φάκελο με τη σκέψη ότι ο μαθητής της Α' Λυκείου που δεν γνωρίζει από το Γυμνάσιο
το Πυθαγόρειο και το θ. Θαλή (με τα αντίστροφά τους ) ούτε που θ' ανοίξει καν το θέμα για να το διαβάσει.

Αν θεωρήσουμε τα ως άνω θεωρήματα εκτός φακέλου , ίσως θα έπρεπε να θέσω το θέμα σε ανώτερο φάκελο..

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1412
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Χαρταετός εγγράψιμος

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 11, 2021 9:13 am

Καλημέρα! Λίγα λόγια για τη δημιουργία , συνάμα λύση του θέματος.

Ξεκινάμε με το Πυθαγόρειο τρίγωνο EAP , πλευρών 18,24,30 και την διάμεσο AB όπως στο σχήμα
11-4 χαρταετοί εγγράψιμοι.png
11-4 χαρταετοί εγγράψιμοι.png (222.04 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Είναι \widehat{A}=90^o και AB=BE=BP=15.

Με βάσεις τις AE και AP κατασκευάζουμε το τρίγωνο LAE όμοιο με το BAP και το YPA όμοιο με το ABE.

Έχουμε υπόψη μας ότι τα όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Εύκολα προκύπτει οι LA=LE=20 δηλ. το BELA είναι ο αρχικός χαρταετός .

Επειδή \theta +\omega =180^o , οι χαρταετοί BELA και BPYA είναι εγγράψιμοι.

Γενικότερα με τον ως άνω τρόπο και θεωρώντας αρχικά Πυθαγόρεια τριάδα

κατάλληλη για την επιθυμητή μας .. :) ..ακεραιότητα , μπορούμε να παράξουμε διάφορα ζεύγη εγγράψιμων χαρταετών!

Φιλικά, Γιωργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης