Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Μάιος 30, 2014 9:18 pm

Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ » Τετ Ιούλ 29, 2020 6:06 pm

Εικόνα



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιούλ 31, 2020 10:02 am

Τρίγωνο Νικηφόρου_Ανάλυση.png
Τρίγωνο Νικηφόρου_Ανάλυση.png (28.3 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές
Τρίγωνο Νικηφόρου.png
Τρίγωνο Νικηφόρου.png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές
Στο πρώτο σχήμα η ανάλυση και στο δεύτερο τα αποτελέσματα . x=6°


ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Μάιος 30, 2014 9:18 pm

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 2:55 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιούλ 31, 2020 10:02 am
Τρίγωνο Νικηφόρου_Ανάλυση.png

Τρίγωνο Νικηφόρου.png

Στο πρώτο σχήμα η ανάλυση και στο δεύτερο τα αποτελέσματα . x=6°
Αγαπητέ Doloros, θα μπορούσαμε να έχουμε περισσότερα στοιχεία σχετικά με την ανάλυση του προβλήματος;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12329
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 31, 2020 7:03 pm

Πολύ ωραία η μέθοδος του Νίκου (Doloros) αλλά θα αφήσω τον ίδιο να την εξηγήσει.

Ακολουθεί εν μέρη λύση, με Τριγωνομετρία:

Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα ABD, BDC, αντίστοιχα, έχουμε

\displaystyle{\dfrac {AB}{\sin 9x} = \dfrac {BD}{\sin 16x} } και

\displaystyle{\dfrac {CD}{\sin 4x} = \dfrac {BD}{\sin 5x} }

Διαιρώντας κατά μέλη και με χρήση του AB=CD παίρνουμε

\displaystyle{\dfrac {\sin 4x}{\sin 9x} = \dfrac {\sin 5x}{\sin 16x} } , ισοδύναμα \displaystyle{\sin 4x \sin 16x = \sin 5x \sin 9x}

της οποία ψάχνουμε λύση με 16x+5x+4x < \pi, δηλαδή x < \dfrac {\pi}{25}.

Από εδώ και πέρα κάνω πάρα πολλές πράξεις που δεν τολμώ να πληκτρολογίσω, για να καταλήξω στην λύση x=\dfrac {\pi}{30}.

Εν αναμονή καλύτερης μεθόδου ας δούμε ότι τουλάχιστον η x=\dfrac {\pi}{30} είναι λύση. Ας το γυρίσουμε σε μοίρες (εδώ x=6^o) για να πεισθούμε ότι ισχύει

\displaystyle{\sin 24 \sin 96 = \sin 30 \sin 54} ισοδύναμα

\displaystyle{\sin 24 \sin 84 = \dfrac {1}{2} \sin 54} , ισοδύναμα

\displaystyle{2\sin 24 \sin 84 =  \sin 54} , ισοδύναμα

\displaystyle{ \cos 60 - \cos 108 = \sin 54} ή \displaystyle{\dfrac {1}{2} -(1-2 \sin ^254) = \sin 54} ή \displaystyle{ \sin 54 = \dfrac {1+\sqrt 5}{4}}. To τελευταίο είναι γνωστό ότι ισχύει. Βλέπε π.χ. εδώ.


ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 7:03 am

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ » Σάβ Αύγ 01, 2020 12:33 am

Προς το παρόν άλυτη


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 01, 2020 2:30 pm

Εκφώνηση
Εν μέσω Ραστώνης εκφώνηση.png
Εν μέσω Ραστώνης εκφώνηση.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Αν AB = DC να βρείτε το x



Ανάλυση

Κατασκευάζω το τρίγωνο EDC με E πάνω στην BC για το οποίο \widehat {DEC} = \widehat {BDA} = 9x.

Προς τούτο φέρνω κάθετη στηνBD στο D και τη μεσοκάθετη στο DC που τέμνονται στο K. Ο κύκλος \left( {K,KC} \right) τέμνει ακόμα την BC στο E.

Τα τρίγωνα DBA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ECD έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους κέντρων L,K

Γιατί έχουν ίσες χορδές , AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC κι απέναντί τους ίσες γωνίες , \widehat {BDA} = \widehat {CED} = 9x.

Θα δείξω ότι \widehat {CEK} = \theta  = x. Έστω ότι \theta  > x τότε στο \vartriangle KED θα έχω

10x + 2(9x + \theta ) = 180^\circ  \Rightarrow 28x + 2\theta  = 180^\circ  \Rightarrow \boxed{30x < 180^\circ } \Rightarrow \boxed{16x + 14x < 180^\circ }

Τρίγωνο Νικηφόρου_b.png
Τρίγωνο Νικηφόρου_b.png (51.62 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Δηλαδή οι ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE τέμνοντα προς την μεριά των B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E έστω σε

σημείο S και η εξωτερική γωνία \widehat {CDE} = \widehat {CDS} > \widehat {DAS} = 16x\,\,(1).

Τώρα δείτε ότι \widehat {EKD} < \widehat {ALD} ( αφού στο \vartriangle ABC το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από 30x)

Άμεσες συνέπειες : ED < AD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC < BD οπότε \widehat {EDC} < \widehat {BAD} = 16x\,\,\left( 2 \right)

Οι \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) οδηγούν σε μαθηματικό αδιέξοδο. Το ίδιο έχω αν \theta  < x , συνεπώς

\theta  = x και άρα το \vartriangle KED είναι ισόπλευρο , τα υπόλοιπα προφανή.


ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 7:03 am

Re: Εν μέσω ραστώνης, Βρες τη γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΟΡΡΕΣ ΙΩΑΝΝΗΣ » Κυρ Αύγ 02, 2020 11:10 pm

Καλησπέρα.
Απορία. Γιατί το κέντρο Κ του κύκλου βρίσκεται σε σημείο σαν να θεωρούμε δεδομένο ότι το τρίγωνο EDC είναι αμβλυγώνιο; άρα η γωνία θ βγαίνει εκτός του τριγώνου EDC;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης