Διάμεσος και διχοτόμος
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Διάμεσος και διχοτόμος
Να αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Ίσα τρίγωνα: Στο τρίγωνο προεκτείνουμε την διάμεσο κατα τμήμα . Τα τρίγωνα και έχουν: , και ως κατακορυφήν, άρα ίσα. Ακόμη, τα τρίγωνα και έχουν κοινή, και άρα ίσα. Οπότε τα τρίγωνα και είναι ίσα, άρα .
- Συνημμένα
-
- Capture.PNG (22.69 KiB) Προβλήθηκε 3285 φορές
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Θεωρούμε και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Το είναι παραλληλόγραμμο άρα
Άρα στο είναι .
Επίσης το είναι παραλληλόγραμμο άρα .
Έχουμε
Το είναι παραλληλόγραμμο άρα
Άρα στο είναι .
Επίσης το είναι παραλληλόγραμμο άρα .
Έχουμε
- Συνημμένα
-
- 8.PNG (26.98 KiB) Προβλήθηκε 3274 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Όντως μπορώ να σκεφτώ πολλές αποδείξεις. Ας δούμε δύο απλές.Christos.N έγραψε: ↑Τετ Ιαν 16, 2019 6:23 pmΝα αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Στα παρακάτω η διχοτόμος/διάμεσος είναι η .
α) Με χρήση του Θεωρήματος των Διχοτόμων. . Τελειώσαμε.
β) Με χρήση κριτηρίων ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (και χρήση τους στο ότι τα σημεία της διχοτόμου ισαπέχουν από τις πλευρές.
Φέρνουμε καθέτους από το στις πλευρές. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα διότι και . Άρα . Τελειώσαμε.
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Θα είναι λόγω της διχοτόμου . Φέρνω το ύψος, του ισοσκελούς .
Άρα δηλαδή το έχει δύο διαφορετικά μέσα . Άτοπο.
Αλλιώς .
Φέρνω παράλληλή από το στη . Για κάθε σημείο αυτής διαφορετικό του , η τέμνει τις ευθείες στα
Με την να θεωρείται διάμεσος , η τετράδα : είναι αρμονική .
Αφού όμως η είναι διχοτόμος θα είναι , συνεπώς και η ως παράλληλη στην θα είναι κάθετος στην στο .
Προφανώς τώρα .
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Άλλη μία με εμβαδά.
Αφού διάμεσος τότε:
Αφού διάμεσος τότε:
- Συνημμένα
-
- Διαμεσος και διχοτόμος.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 3221 φορές
Ηλίας Καμπελής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Με κριτήριο ισότητας τριγώνων
Με την διχοτόμο/διάμεσο:
Τα τρίγωνα έχουν κοινή, και (προσοχή, δεν είναι η περιεχόμενες γωνίες). Άρα οι τρίτες γωνίες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές. Όμως δεν είναι παραπληρωματικές γιατί σε κάθε τρίγωνο, όπως στο , είναι . Άρα είναι ίσες.
Με την διχοτόμο/διάμεσο:
Τα τρίγωνα έχουν κοινή, και (προσοχή, δεν είναι η περιεχόμενες γωνίες). Άρα οι τρίτες γωνίες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές. Όμως δεν είναι παραπληρωματικές γιατί σε κάθε τρίγωνο, όπως στο , είναι . Άρα είναι ίσες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Με Θαλή
Φέρνω από το κάθετο στην διχοτόμο/διάμεσο . Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε και . Αν το δεν συνέπιπτε με το τότε η θα ήταν παράλληλη της αφού συνδέει τα μέσα πλευρών στο τρίγωνο . Άτοπο, αφού οι τέμνονται στο . Τελικά τα συμπίπτουν και .
Φέρνω από το κάθετο στην διχοτόμο/διάμεσο . Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε και . Αν το δεν συνέπιπτε με το τότε η θα ήταν παράλληλη της αφού συνδέει τα μέσα πλευρών στο τρίγωνο . Άτοπο, αφού οι τέμνονται στο . Τελικά τα συμπίπτουν και .
- Συνημμένα
-
- diam-dihot.png (5.2 KiB) Προβλήθηκε 3189 φορές
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμα απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο.
Δίνεται τρίγωνο με διάμεσο και διχοτόμο.
Έστω (1) . Προεκτείνουμε την κατά τμήμα , ώστε .
Τότε στο ισοσκελές η προέκταση της διχοτόμου τέμνει τη στο , που είναι το μέσο της, οπότε το είναι παράλληλο στη , άτοπο, αφού οι φορείς τους τέμνονται στο , άρα η υπόθεση (1) είναι ψευδής.
Το ίδιο αν , οπότε .
Δίνεται τρίγωνο με διάμεσο και διχοτόμο.
Έστω (1) . Προεκτείνουμε την κατά τμήμα , ώστε .
Τότε στο ισοσκελές η προέκταση της διχοτόμου τέμνει τη στο , που είναι το μέσο της, οπότε το είναι παράλληλο στη , άτοπο, αφού οι φορείς τους τέμνονται στο , άρα η υπόθεση (1) είναι ψευδής.
Το ίδιο αν , οπότε .
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Έστω οι προβολές του μέσου της στις .
Προφανώς επειδή η είναι και διχοτόμος θα είναι :
Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσες ίσες και τις κάθετες πλευρές τους ίσες οπότε θα είναι ίσα και άρα :
λόγω τώρα της θα είναι : .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Από τους τύπους διαμέσου και διχοτόμου: Αν π. χ η είναι διάμεσος και διχοτόμος, τότε
απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση:
ή που απορρίπτεται λόγω τριγωνικής ανισότητας.
απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση:
ή που απορρίπτεται λόγω τριγωνικής ανισότητας.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Καθαρά Ευκλείδεια λύση δεν τη λές... αλλά για λόγους πλουραλισμού, την παραθέτω.
Στο είναι και στο είναι
και αφού , και , θα είναι και .
Στο είναι και στο είναι
και αφού , και , θα είναι και .
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Christos.N έγραψε: ↑Τετ Ιαν 16, 2019 6:23 pmΝα αποδειχθεί ότι αν σε ένα τρίγωνο η διάμεσος του ταυτίζεται με την διχοτόμο τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Θεωρώντας τους περίκυκλους των είναι, και λόγω της
διχοτόμου,
Τώρα,
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Μια ακόμα
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Να ευχαριστήσω όλους όσους ασχολήθηκαν με αυτό το θέμα το οποίο μπορεί να είναι μια καλή (προσιτή) πρόταση για διερεύνηση από μαθητές σε οποιαδήποτε τάξη του Λυκείου και να "σαρώσει" πολλά κομμάτια της διδακτέας ύλης τους.
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Διάμεσος και διχοτόμος
Παραλλαγή της λύσης του Θ. Φωτιάδη.
Προεκτείνουμε τη διαμέσο , ώστε .
Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, επειδή οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.
Όμως η διαγώνιος είναι και διχοτόμος της γωνίας .
Άρα, αυτό είναι ρόμβος.
Άρα, το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Προεκτείνουμε τη διαμέσο , ώστε .
Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, επειδή οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.
Όμως η διαγώνιος είναι και διχοτόμος της γωνίας .
Άρα, αυτό είναι ρόμβος.
Άρα, το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες