Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Συντονιστής: Demetres

lefsk
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Δεκ 18, 2018 1:58 am

Γεια σας! Έχω να βρω όλες τις πρωταρχικές λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης \displaystyle{ x^2+3y^2=z^2 }.

Εγώ ξεκίνησα ως εξής:

Οι τετριμμένες λύσεις \displaystyle{ (x, y, z) } είναι οι \displaystyle{ (x, 0, x), (-x, 0, x), (x, 0, -x), (-x, 0, -x) }.
Άρα, έστω \displaystyle{ xyz \neq  0 }.
Αν \displaystyle{ (x, y, z) } λύση, τότε \displaystyle{ (\pm x, \pm y, \pm z ) } λύσεις.
Άρα ψάχνω λύσεις στους θετικούς ακεραίους.

Αν \displaystyle{ k = (x, y, z) } τότε \displaystyle{ x= kx', y=ky', z=kz }'με \displaystyle{  (x', y', z')=1 } και εμείς ψάχνουμε τις λύσεις της \displaystyle{ x' ^2 + 3y'^2 = z'^2 }.

Μετά σκέφτηκα να πάρω περιπτώσεις για τα πρόσημα των \displaystyle{ x', y', z' } αλλά γενικά κολλάω.

Υπάρχει γενικά κάποια μέθοδος για εξισώσεις της μορφής \displaystyle{ x ^2 + Ny^2 = z^2 }.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!



Λέξεις Κλειδιά:
Μπερντένης Γεώργιος
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 11:59 am

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπερντένης Γεώργιος » Τρί Δεκ 18, 2018 8:18 pm

Καταρχήν καλησπέρα
Μπορείς να πάρεις διάφορες περιπτώσεις για τους x,y,z
Παράδειγμα μια εύκολη λύση και προφανής λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης είναι η x = 1,y = 1,z= 2
Φιλικά,
Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Δεκ 19, 2018 10:07 am

Το κόλπο εδώ είναι να το γράψουμε ως εξής:

\displaystyle  3y^2 = (z-x)(z+x)

Θεωρώντας ότι οι z,x είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει (z-x,z+x) = (z-x,2z) το οποίο είναι ίσο με 1 ή 2. Υπάρχουν λοιπόν οι εξής περιπτώσεις:

z -x = 3a^2,z+x=b^2
z -x = a^2,z+x=3b^2
z -x = 6a^2,z+x=2b^2
z -x = 2a^2,z+x=6b^2

όπου σε όλες τις περιπτώσεις οι a,b είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε \displaystyle  x = \frac{b^2-3a^2}{2}, y = ab και \displaystyle  z = \frac{3a^2 + b^2}{2} με τους a,b να είναι αναγκαστικά περιττοί. Ομοίως δουλεύονται και οι άλλες περιπτώσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης