mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 8:42 am**

Δύσκολα θα βρείτε δύο θετικούς ακέραιους : m , n

, ώστε : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=6$ .

Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 9:27 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 8:42 am
Δύσκολα θα βρείτε δύο θετικούς ακέραιους : , ώστε : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=6$ .

Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ ;

Κάνω απλοϊκή προσέγγιση όπως θα επιχειρούσε ανυποψίαστος μαθητής (*).

Έχουμε $\dfrac{n}{3}< \dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ , άρα n<5

, οπότε τα υποψήφια

είναι τα

Βάζουμε διαδοχικά τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση και ελέγχουμε. Συγκεκριμένα

α) Για n=1

έχουμε να λύσουμε στους θετικούς ακεραίους την $\dfrac{m}{1}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ . Βοηθάει να σκεφτούμε ότι $\dfrac{m}{1}+ \dfrac{1}{3} <\dfrac{m}{1}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ οπότε $m< 2-\dfrac{1}{3}= \dfrac{5}{3}$ . To μόνο υποψήφιο

είναι το

, το οποίο όμως δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

Όμοια δουλεύουμε για τις υπόλοιπες. Στην κάθε περίπτωση ο έλεγχος των

ήταν μικρός (όλα τα

βγήκαν $\le 2$ ).

Δεν γράφω την επιμέρους αριθμητική διαδικασία ως απλούστατη αλλά ανιαρή (περί τις $2\times 5 =10$ φορές το ίδιο πράγμα). Συνοψίζοντας διαπιστώνω (αν έκανα σωστά τις πράξεις) ότι δεν υπάρχει κατάλληλο

. Κάτι που δικαιολογεί την φράση "Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν ... " της εκφώνησης.

(*) Edit αργότερα: Και ο ίδιος αρχικά εργάστηκα ανυποψίαστος αλλά μετά κατάλαβα ποια είναι η γρήγορη λύση. Εν τω μεταξύ μου έγραψε και κάποιος φίλος για την γρήγορη λύση. Αφήνω τα παραπάνω ως έχουν (αφού στέκουν) και ας γράψει άλλος, π.χ. ο φίλος, την γρήγορη λύση της μιας γραμμής. Έφαγα την τρικλοποδιά (ας πρόσεχα) γιατί η άσκηση ζητά λύση στους θετικούς ακεραίους. Τελικά αποδεικνύεται ότι δεν έχει λύση ούτε στους θετικούς, ακεραίους ή μη.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 12:14 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 8:42 am
Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ ;

Θανάση, δεν γίνεται να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,n

τέτοιοι ώστε
$\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$

γιατί ισχύει ότι

$\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}\ge 3$

Aυτό προκύπτει από την ανισότητα AM-GM.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 12:37 pm**

Η πρώτη ισότητα όμως ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 1:06 pm**

Για την πρώτη ισότητα δεν τίθεται θέμα, το πρόβλημα έχει νόημα.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 1:18 pm**

H πρώτη, $\displaystyle \frac{{18}}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{{18}} = ... = 6$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 1:37 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 8:42 am
Δύσκολα θα βρείτε δύο θετικούς ακέραιους : , ώστε : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=6$ .

Μήπως είναι ευκολότερο να τους βρείτε αν : $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{3}+\dfrac{3}{m}=2$ ;

Για την πρώτη, η μέθοδος που έγραψα, λειτουργεί: Έχουμε

$2\sqrt {\dfrac{n}{3}} = 2\sqrt { \dfrac{m}{n}\cdot \dfrac{3}{m} }\le \dfrac{m}{n}+\dfrac{3}{m}=6- \dfrac{n}{3}$

Οι δύο ακριανές δίνουν ανίσωση της μορφής $2\sqrt x+x \le 6$ . Έχει ρίζα $x=8-2\sqrt 7 \approx 2,7$ άρα $\dfrac{n}{3}\le 2,7$ . Οπότε n=1,2,3,4,5,6,7,8