Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Συντονιστής: stranton

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 08, 2023 9:48 pm

Θα ανοίξω ένα θρεντ όπου σε κάθε περίπτωση το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με κάποιες δεδομένες ιδιότητες.

Η ιδέα είναι οι ασκήσεις αυτές να είναι κάπως προσιτές (αλλά όχι τετριμμένες) για όφελος μαθητών της Α' Λυκείου οι οποίοι βρίσκονται στην αρχή της Μαθηματικής τους παιδείας.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 08, 2023 9:50 pm

Άσκηση 1 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R με f(x^{10}) = x^{11}, για κάθε πραγματικό αριθμό x.


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 54
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm

Για απλοποίηση θέτω ότι y = x^{10}

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η f(y)=y^{\frac{11}{10}}
f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Δευ Οκτ 09, 2023 2:37 pm

∫ot.T. έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι y = x^{10}

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η f(y)=y^{\frac{11}{10}}
f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.
Πάνω στην βιασύνη μου είπα ότι είναι σωστή. Σωτήρη, εφόσον θεωρείς y=x^{10}, είναι επόμενο ότι y\geq 0...
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Δευ Οκτ 09, 2023 4:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4771
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Οκτ 09, 2023 2:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Οκτ 08, 2023 9:50 pm
Άσκηση 1 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R με f(x^{10}) = x^{11}, για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Για \displaystyle{x=1}, παίρνουμε \displaystyle{f(1)=1} και για \displaystyle{x= - 1} παίρνουμε \displaystyle{f(1)= -1}. Άρα \displaystyle{-1 =1 }, άτοπο.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Δευ Οκτ 09, 2023 4:40 pm

Σωτήρη, δεν σε ειρωνεύτηκα. Μην το πάρεις στραβά αυτό που είπα. :)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 09, 2023 4:45 pm

∫ot.T. έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι y = x^{10}

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η f(y)=y^{\frac{11}{10}}
f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.
Σωτήρη, για ξαναδές την λύση γιατί έχει κάποιο πρόβλημα στην ακριβολογία της: Λες ότι η συνάρτηση πρέπει να είναι η f(y)=y^{\frac{11}{10}}. Μα αυτή δεν έχει καν νόημα για y<0 (το γράφεις άλλωστε). Οπότε πως την γράφεις; Αυτή δεν υπάρχει. Άλλο να μην μπορείς να γράψεις τον τύπο μιας συνάρτησης, και άλλο να δείξεις ότι δεν υπάρχει.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Δευ Οκτ 09, 2023 4:54 pm

Μπορούμε επίσης να δούμε ότι για x=-2 είναι f\left ( 2^{10} \right )=-2^{11} και για x=2 είναι f\left ( 2^{10} \right )=2^{11} ΑΤΟΠΟ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 09, 2023 5:02 pm

Henri van Aubel έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 4:54 pm
Μπορούμε επίσης να δούμε ότι για x=-2 είναι f\left ( 2^{10} \right )=-2^{11} και για x=2 είναι f\left ( 2^{10} \right )=2^{11} ΑΤΟΠΟ.
Σωστά. Η λύση του Δημήτρη αυτό ουσιαστικά λέει, μόνο που αντί για \pm 2 έχει \pm 1. Φυσικά κάθε άλλο ζεύγος \pm a, \, a\ne 0, Επίσης μας κάνει.


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 54
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Δευ Οκτ 09, 2023 6:46 pm

Henri van Aubel έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 2:37 pm
∫ot.T. έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι y = x^{10}

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η f(y)=y^{\frac{11}{10}}
f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.
Πάνω στην βιασύνη μου είπα ότι είναι σωστή. Σωτήρη, εφόσον θεωρείς y=x^{10}, είναι επόμενο ότι y\geq 0...
Πάνω σε αυτό βασίστηκα, ότι το y είναι θετικό.
Θα ήθελα όμως να μου εξηγήσετε άλλη μία φορά το λάθος μου, γιατί δεν το κατάλαβα.

Στα δεδομένα έχουμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το R, οπότε μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.
Άτοπο, αφού x^{10}\geq 0, με άλλα λόγια το γεγονός ότι η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικό y δεν συμβαδίζει με τα δεδομένα.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 09, 2023 7:54 pm

∫ot.T. έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 6:46 pm
Στα δεδομένα έχουμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το R, οπότε μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.
Άτοπο, αφού x^{10}\geq 0, με άλλα λόγια το γεγονός ότι η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικό y δεν συμβαδίζει με τα δεδομένα.
Προσοχή, η πληροφορία που δίνεται στην άσκηση αφορά μόνο αριθμούς της μορφής x^{10}, και άρα θετικούς. Αυτό που μετράει είναι ότι στο f(x^{10}) μπορείς να βάλεις και αρνητικά x, όπως ακριβώς έκαναν οι δύο λύτες, παραπάνω.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 10, 2023 8:51 am

∫ot.T. έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2023 6:46 pm
Θα ήθελα όμως να μου εξηγήσετε άλλη μία φορά το λάθος μου, γιατί δεν το κατάλαβα.
Δεν είναι αλήθεια ότι αν x^{10} =a, τότε x= \sqrt [10] a. Αυτό προαπαιτεί το a να είναι μη αρνητικό. Αν είναι αρνητικό, δεν έχει νόημα στους πραγματικούς (που είναι το σύνολο αναφοράς μας σε αυτή την τάξη) η παράσταση  \sqrt [10] a, οπότε δεν μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξή μας (ως παράσταση με νόημα, και με χρήση της να βγάλουμε συμπεράσματα).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 10, 2023 12:10 pm

Άσκηση 2 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R με f(x) +f(1-x)= x, για κάθε πραγματικό αριθμό x.
β) Όμοια με πριν αλλά τώρα θέλουμε f(x) -f(1-x)= x για κάθε x.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Οκτ 10, 2023 2:08 pm

2α) Για x=1/3 παίρνουμε f(1/3) + f(2/3) = 1/3 ενώ για x=2/3 παίρνουμε f(1/3) + f(2/3) = 2/3, άτοπο.
2β) Για x=1/3 παίρνουμε f(1/3) - f(2/3) = 1/3 ενώ για x=2/3 παίρνουμε f(1/3) - f(2/3) = -2/3, άτοπο.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4771
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Οκτ 11, 2023 12:13 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Οκτ 10, 2023 12:10 pm
Άσκηση 2 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R με f(x) +f(1-x)= x, για κάθε πραγματικό αριθμό x.
β) Όμοια με πριν αλλά τώρα θέλουμε f(x) -f(1-x)= x για κάθε x.
Και με άλλους αριθμούς:

(α) Για \displaystyle{x=0} έχουμε: \displaystyle{f(0)+f(1)=0}

Για \displaystyle{x=1} έχουμε \displaystyle{f(1)+f(0)=1}. Άρα καταλήξαμε σε άτοπο

(β) Για \displaystyle{x=1} έχουμε: \displaystyle{f(1)-f(0)=1}

Για \displaystyle{x=0} έχουμε \displaystyle{f(0)-f(1)=0 \Rightarrow f(1)-f(0)=0}, πάλι άτοπο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 11, 2023 12:36 pm

Επειδή οι δύο προηγούμενες λύσεις μοιάζουν (η μία χρησιμοποιεί τις τιμές 1/3 και  2/3 ενώ η άλλη τις  0 και 1) ας σχολιάσω για τους μαθητές μας ότι θα μπορούσαμε να πάρουμε οποιοδήποτε a και 1-a (με εξαίρεση το a=1/2 που κάνει τα a,\, 1-a ίσα). Οι λύτες χρησιμοποίησαν τιμές για τις οποίες φαίνεται η αιτία που λειτουργεί συλλογισμός τους.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Οκτ 11, 2023 12:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4771
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Οκτ 11, 2023 8:23 pm

Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f:R\rightarrow R}, με \displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}, για κάθε \displaystyle{x , y} πραγματικούς αριθμούς.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1398
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Οκτ 11, 2023 10:40 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Οκτ 11, 2023 8:23 pm
Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f:R\rightarrow R}, με \displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}, για κάθε \displaystyle{x , y} πραγματικούς αριθμούς.
Αν θέσουμε όπου y το 0, βρίσκουμε f(x)=\frac{x}{2}, για κάθε x. Επιστρέφοντας στην αρχική ότι το αριστερό μέλος θα είναι
\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}=x, δηλαδή x=x+y, για κάθε x,y, άτοπο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13350
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 12, 2023 8:18 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Οκτ 11, 2023 8:23 pm
Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f:R\rightarrow R}, με \displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}, για κάθε \displaystyle{x , y} πραγματικούς αριθμούς.
Αν θέσω x=y\ne 0, έχω \displaystyle f(2x) + f(0) = 2x, ενώ για y=-x\ne 0, έχω \displaystyle f(0) + f(2x) = 0 που καταλήγει σε άτοπο.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4771
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Οκτ 13, 2023 11:25 pm

Άσκηση 4: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f:R\rightarrow R}, για την οποία ισχύουν :

\displaystyle{f(2x+1)+2f(3-x)=m(m^2 +n^2 )x - n^3} και \displaystyle{f(1)+2f(2)+3f(3)=n(m^2 -n^2)} ,

όπου \displaystyle{m,n} είναι πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{m\neq n}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες