Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

#1

Θα ανοίξω ένα θρεντ όπου σε κάθε περίπτωση το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με κάποιες δεδομένες ιδιότητες.

Η ιδέα είναι οι ασκήσεις αυτές να είναι κάπως προσιτές (αλλά όχι τετριμμένες) για όφελος μαθητών της Α' Λυκείου οι οποίοι βρίσκονται στην αρχή της Μαθηματικής τους παιδείας.

#2

Άσκηση 1 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με $f(x^{10}) = x^{11}$ , για κάθε πραγματικό αριθμό .

∫ot.T. · #3

Για απλοποίηση θέτω ότι $y = x^{10}$

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$
$f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}$

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.

Henri van Aubel · #4

∫ot.T. έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι $y = x^{10}$

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$
$f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}$

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.

Πάνω στην βιασύνη μου είπα ότι είναι σωστή. Σωτήρη, εφόσον θεωρείς $y=x^{10}$ , είναι επόμενο ότι $y\geq 0$ ...

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2023 9:50 pm
Άσκηση 1 Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με $f(x^{10}) = x^{11}$ , για κάθε πραγματικό αριθμό .

Για $\displaystyle{x=1}$ , παίρνουμε $\displaystyle{f(1)=1}$ και για $\displaystyle{x= - 1}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(1)= -1}$ . Άρα $\displaystyle{-1 =1 }$ , άτοπο.

Henri van Aubel · #6

Σωτήρη, δεν σε ειρωνεύτηκα. Μην το πάρεις στραβά αυτό που είπα.

#7

∫ot.T. έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι $y = x^{10}$

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$
$f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}$

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.

Σωτήρη, για ξαναδές την λύση γιατί έχει κάποιο πρόβλημα στην ακριβολογία της: Λες ότι η συνάρτηση πρέπει να είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$ . Μα αυτή δεν έχει καν νόημα για y<0

(το γράφεις άλλωστε). Οπότε πως την γράφεις; Αυτή δεν υπάρχει. Άλλο να μην μπορείς να γράψεις τον τύπο μιας συνάρτησης, και άλλο να δείξεις ότι δεν υπάρχει.

Henri van Aubel · #8

Μπορούμε επίσης να δούμε ότι για x=-2

είναι $f\left ( 2^{10} \right )=-2^{11}$ και για x=2

είναι $f\left ( 2^{10} \right )=2^{11}$ ΑΤΟΠΟ.

#9

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 4:54 pm
Μπορούμε επίσης να δούμε ότι για είναι $f\left ( 2^{10} \right )=-2^{11}$ και για είναι $f\left ( 2^{10} \right )=2^{11}$ ΑΤΟΠΟ.

Σωστά. Η λύση του Δημήτρη αυτό ουσιαστικά λέει, μόνο που αντί για $\pm 2$ έχει $\pm 1$ . Φυσικά κάθε άλλο ζεύγος $\pm a, \, a\ne 0$ , Επίσης μας κάνει.

∫ot.T. · #10

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 2:37 pm

∫ot.T. έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 2:16 pm
Για απλοποίηση θέτω ότι $y = x^{10}$

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$
$f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}$

Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.
Πάνω στην βιασύνη μου είπα ότι είναι σωστή. Σωτήρη, εφόσον θεωρείς $y=x^{10}$ , είναι επόμενο ότι $y\geq 0$ ...

Πάνω σε αυτό βασίστηκα, ότι το y είναι θετικό.
Θα ήθελα όμως να μου εξηγήσετε άλλη μία φορά το λάθος μου, γιατί δεν το κατάλαβα.

Στα δεδομένα έχουμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το R, οπότε μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.
Άτοπο, αφού $x^{10}\geq 0$ , με άλλα λόγια το γεγονός ότι η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικό y δεν συμβαδίζει με τα δεδομένα.

#11

∫ot.T. έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 6:46 pm
Στα δεδομένα έχουμε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το R, οπότε μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.
Άτοπο, αφού $x^{10}\geq 0$ , με άλλα λόγια το γεγονός ότι η συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικό y δεν συμβαδίζει με τα δεδομένα.

Προσοχή, η πληροφορία που δίνεται στην άσκηση αφορά μόνο αριθμούς της μορφής $x^{10}$ , και άρα θετικούς. Αυτό που μετράει είναι ότι στο $f(x^{10})$ μπορείς να βάλεις και αρνητικά

, όπως ακριβώς έκαναν οι δύο λύτες, παραπάνω.

#12

∫ot.T. έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 6:46 pm
Θα ήθελα όμως να μου εξηγήσετε άλλη μία φορά το λάθος μου, γιατί δεν το κατάλαβα.

Δεν είναι αλήθεια ότι αν $x^{10} =a$ , τότε $x= \sqrt [10] a$ . Αυτό προαπαιτεί το

να είναι μη αρνητικό. Αν είναι αρνητικό, δεν έχει νόημα στους πραγματικούς (που είναι το σύνολο αναφοράς μας σε αυτή την τάξη) η παράσταση $\sqrt [10] a$ , οπότε δεν μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξή μας (ως παράσταση με νόημα, και με χρήση της να βγάλουμε συμπεράσματα).

#13

Άσκηση 2 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε πραγματικό αριθμό .
β) Όμοια με πριν αλλά τώρα θέλουμε για κάθε .

#14

2α) Για

παίρνουμε

ενώ για

παίρνουμε

, άτοπο.
2β) Για x=1/3

παίρνουμε

ενώ για

παίρνουμε

, άτοπο.

#15

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2023 12:10 pm
Άσκηση 2 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με , για κάθε πραγματικό αριθμό .
β) Όμοια με πριν αλλά τώρα θέλουμε για κάθε .

Και με άλλους αριθμούς:

(α) Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε: $\displaystyle{f(0)+f(1)=0}$

Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε $\displaystyle{f(1)+f(0)=1}$ . Άρα καταλήξαμε σε άτοπο

(β) Για $\displaystyle{x=1}$ έχουμε: $\displaystyle{f(1)-f(0)=1}$

Για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(0)-f(1)=0 \Rightarrow f(1)-f(0)=0}$ , πάλι άτοπο.

#16

Επειδή οι δύο προηγούμενες λύσεις μοιάζουν (η μία χρησιμοποιεί τις τιμές 1/3

και

ενώ η άλλη τις

και

) ας σχολιάσω για τους μαθητές μας ότι θα μπορούσαμε να πάρουμε οποιοδήποτε

και

(με εξαίρεση το a=1/2

που κάνει τα $a,\, 1-a$ ίσα). Οι λύτες χρησιμοποίησαν τιμές για τις οποίες φαίνεται η αιτία που λειτουργεί συλλογισμός τους.

#17

Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , με $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}$ , για κάθε $\displaystyle{x , y}$ πραγματικούς αριθμούς.

#18

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 8:23 pm
Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , με $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}$ , για κάθε $\displaystyle{x , y}$ πραγματικούς αριθμούς.

Αν θέσουμε όπου

το

, βρίσκουμε $f(x)=\frac{x}{2}$ , για κάθε

. Επιστρέφοντας στην αρχική ότι το αριστερό μέλος θα είναι
$\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}=x$ , δηλαδή x=x+y

, για κάθε x,y

, άτοπο.

#19

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 11, 2023 8:23 pm
Στο ίδιο πνεύμα με αυτές του Μιχάλη:

Άσκηση 3: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , με $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=x+y}$ , για κάθε $\displaystyle{x , y}$ πραγματικούς αριθμούς.

Αν θέσω $x=y\ne 0,$ έχω $\displaystyle f(2x) + f(0) = 2x,$ ενώ για $y=-x\ne 0,$ έχω $\displaystyle f(0) + f(2x) = 0$ που καταλήγει σε άτοπο.

#20

Άσκηση 4: Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , για την οποία ισχύουν :

$\displaystyle{f(2x+1)+2f(3-x)=m(m^2 +n^2 )x - n^3}$ και $\displaystyle{f(1)+2f(2)+3f(3)=n(m^2 -n^2)}$ ,

όπου $\displaystyle{m,n}$ είναι πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{m\neq n}$

Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Re: Μη το ψάχνεις γιατί δεν υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση