Χαρτί και μολύβι

orestisgotsis · #1

Εάν $m,\,\,{m}',\,\,n,\,\,{n}'$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση:

(m+n)(m+n-1)+2m=({m}'+{n}')({m}'+{n}'-1)+2{m}'

, δείξτε ότι m={m}'

και

.

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 26, 2023 5:17 pm
Εάν $m,\,\,{m}',\,\,n,\,\,{n}'$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση:

, δείξτε ότι και .

Aφού διαιρέσουμε με το

και γράψουμε $N=m+n, \, M=m , N'=m'+n', \, M'=m'$ , η δοθείσα γράφεται

$\dfrac {1}{2} N(N-1) + M = \dfrac {1}{2} N'(N'-1) + M'$ .

Δηλαδή έχουμε την άσκηση

εδώ
(βλέπε ποστ #

).

Στην παραπομπή αυτή βλέπουμε ότι ισχύει $N=N', \, M=M'$ που μας δίνουν τις $m=m', \, n= n'$ .

orestisgotsis · #3

Έχει δοθεί λύση στο (# 5)

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 26, 2023 9:54 pm
... και η διακρίνουσα της παραπάνω να είναι μηδέν.

Ορέστη, γιατί ισχύει αυτό; Ίσως δεν βλέπω κάτι προφανές.

orestisgotsis · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 26, 2023 10:45 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 26, 2023 9:54 pm
... και η διακρίνουσα της παραπάνω να είναι μηδέν.
Ορέστη, γιατί ισχύει αυτό; Ίσως δεν βλέπω κάτι προφανές.

Έστω

.

$\left( m+n \right)\left( m+n-1 \right)+2m={{\left( m+n \right)}^{2}}+m-n$

${{\left( m+n \right)}^{2}}+m-n={{\left( {m}'+{n}' \right)}^{2}}+{m}'-{n}'$

$\left( m+n+{m}'+{n}' \right)\left( m+n-{m}'-{n}' \right)={m}'-{n}'-m+n$

$m+n+{m}'+{n}'\le {m}'-{n}'-m+n$ που είναι άτοπο.

Σε άτοπο καταλήγουμε αν m+n<{m}'+{n}'

.

Άρα

που δίνει το ζητούμενο.

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 7:23 pm
Άρα που δίνει το ζητούμενο.

Ορέστη, δεν το βλέπω. Π.χ. 1+4=2+3

αλλά δεν προκύπτει ότι έχουμε ισότητες των m,n

με τα αντίστοιχά τους m', n'

.

orestisgotsis · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 9:49 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 7:23 pm
Άρα που δίνει το ζητούμενο.
Ορέστη, δεν το βλέπω. Π.χ. αλλά δεν προκύπτει ότι έχουμε ισότητες των με τα αντίστοιχά τους .

Κύριε Λάμπρου, από την αρχική προκύπτει ότι 2m=2{m}'

#8

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 10:02 pm
Κύριε Λάμπρου, από την αρχική προκύπτει ότι

Σωστά. Δική μου αβλεψία. Συγνώμη.

Χαρτί και μολύβι

Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Re: Χαρτί και μολύβι

Μέλη σε σύνδεση