Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

#1

Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$ , να βρεθεί συναρτήσει του

η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$ .

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς

την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός, αν και σωστός, έχει πολλές πράξεις. Αυτό που ζητώ είναι ένας πιο σβέλτος τρόπος.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 1:11 pm
Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Ανοικτή σε όλους.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 1:11 pm
Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$ , να βρεθεί συναρτήσει του η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$ .

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός, αν και σωστός, έχει πολλές πράξεις. Αυτό που ζητώ είναι ένας πιο σβέλτος τρόπος.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Θέτουμε $y=\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}.$

Είναι

$y=\dfrac {a^2\left ( x^2+x+1 \right )^2}{x^4+x^2+1}=a^2\dfrac{x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x}{x^4+x^2+1}=$

$a^2\left ( 1+2x\dfrac{x^2+x+1}{x^4+x^2+1} \right )=a^2\left ( 1+2x\dfrac{x/a}{x^4+x^2+1} \right )=$

$a^2\left ( 1+\dfrac{2}{a}\cdot \dfrac{x^2}{x^4+x^2+1} \right )=a^2\left ( 1+\dfrac{2}{a}y \right ).$

Λύνουμε ως προς

και τελειώσαμε.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 1:11 pm
Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$ , να βρεθεί συναρτήσει του η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$ .

...

Έστω $x\ne 0$ . Τότε $a\ne 0$ , και αντιστρέφοντας τη δοθείσα παίρνουμε $\dfrac{1}{a}=x+\dfrac{1}{x}+1.$

Άρα $\dfrac{1-a}{a}=x+\dfrac{1}{x}$ , οπότε $a\ne \frac{1}{2}$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

$\dfrac{(1-a)^2}{a^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=\dfrac{x^4+x^2+1}{x^2}+1.$ .

Συνεπώς,

$\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}=\dfrac{a^2}{(1-a)^2-a^2}=\dfrac{a^2}{1-2a}$ ,

ο οποίος ισχύει και για x=0

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Έστω

. Τότε

και άρα

το οποίο και θα χρειαστούμε αργότερα. Έχουμε λοιπόν

$\displaystyle \displaystyle{\frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{x^2(x^2-1)}{x^6-1} = \frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x^3-1)(x^3+1)} = \frac{x^2}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} = \frac{a^2b^2}{b^2(1-2a)} = \frac{a^2}{1-2a}}$

KARKAR · #6

Αν : $\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}=b$ , τότε : $\dfrac{1}{b}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+1$ .

Με : $\dfrac{1}{a}=x+\dfrac{1}{x}+1$ , έχουμε : $\dfrac{1}{a^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+1+\dfrac{2}{a}$ ,

δηλαδή : $\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a}$ που δίνει : $b=\dfrac{a^2}{1-2a}$ .

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 1:11 pm
Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$ , να βρεθεί συναρτήσει του η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$ .

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός, αν και σωστός, έχει πολλές πράξεις. Αυτό που ζητώ είναι ένας πιο σβέλτος τρόπος.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

$\displaystyle {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 1 + 2x\left( {{x^2} + x + 1} \right) = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {x^4} + {x^2} + 1 = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{2{x^2}}}{a} = \frac{{{x^2}\left( {1 - 2a} \right)}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - 2a}}}$

orestisgotsis · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 25, 2023 1:11 pm
Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$ , να βρεθεί συναρτήσει του η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$ .

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός, αν και σωστός, έχει πολλές πράξεις. Αυτό που ζητώ είναι ένας πιο σβέλτος τρόπος.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

$\displaystyle\frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}=a\,\,\,\,\,(1)$

$\displaystyle\frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}=\displaystyle\frac{a}{1}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2x}{{{x}^{2}}+x+1}=\displaystyle\frac{-2a}{1}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}=\displaystyle\frac{a}{1-2a}\,\,\,\,\,(2)$

$\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\displaystyle\frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}\cdot\displaystyle \frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}\,\,\,\overset{(1),\,(2)}{\mathop{=}}\,\,\,\,\displaystyle\frac{{{a}^{2}}}{1-2a}$

KARKAR · #9

Εκπληκτική λύση , με πριμ την ταυτότητα : x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 28, 2023 8:35 pm
Εκπληκτική λύση , με πριμ την ταυτότητα :

Η λύση που είχα είχα κατά νου χρησιμοποιεί την ίδια αυτή την ταυτότητα, αλλά ας παρατηρηθεί ότι την χρησιμοποίησε και ο Δημήτρης στο ποστ #5 (βλέπε το πρώτο και το τέταρτο κλάσμα στην λύση του, όπου έχει μία κομφή απόδειξη στο ενδιάμεσο).

Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Re: Τιμή παράστασης από άλλη παράσταση

Μέλη σε σύνδεση