σύγκριση αριθμών

Συντονιστής: stranton

dopfev
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

σύγκριση αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am

Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1} και B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}.



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4680
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: σύγκριση αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Σεπ 21, 2023 11:47 pm

dopfev έγραψε:
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1} και B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}.
Θέτουμε \displaystyle{10^{2012}-1 =x >0}. Τότε έχουμε:

\displaystyle{10.10^{2011}-1=x \Rightarrow 10^{2011}=\frac{x+1}{10}\Rightarrow 10^{2011}-1 =\frac{x-9}{10}}

Επίσης:

\displaystyle{10.(10^{2012} -1)=10x\Rightarrow 10^{2013}-10=10x\Rightarrow 10^{2013}-1=10x+9}

Τώρα:

\displaystyle{A-B=\frac{\frac{x-9}{10}}{x}-\frac{x}{10x+9} =}

\displaystyle{\frac{(x-9)(10x+9)-10x^2}{10x(10x+9)}=}

\displaystyle{\frac{10x^2 +9x-90x-81-10x^2}{10x(10x+9)}=}

\displaystyle{-\frac{81(x+1)}{10x(10x+1)}<0}

Άρα \displaystyle{A<B}

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η άσκηση είναι κατάλληλη και για την προετοιμασία των παιδιών της Β και Γ Γυμνασίου για τους
διαγωνισμούς της ΕΜΕ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: σύγκριση αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 22, 2023 12:08 am

dopfev έγραψε:
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1} και B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}.
Αλλιώς (και γενικότερα). Ισχυρίζομαι \dfrac{10^{N-1}-1}{10^{N}-1} < \dfrac{10^{N}-1}{10^{N+1}-1}, ισοδύναμα (πολλαπλασιάζοντας χιαστί)

10^{2N} - 10^{N-1} - 10^{N+1} +1 < 10^{2N} - 2\cdot 10^{N}   +1 , ισοδύναμα

 - 10^{N-1} - 10^{N+1}  < - 2\cdot 10^{N} , ισοδύναμα

 - 10^{N-1} (1+100)   < - 20\cdot 10^{N-1} , ισοδύναμα 101 > 20, που ισχύει.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Σεπ 23, 2023 12:22 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


dopfev
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 29, 2011 5:59 pm

Re: σύγκριση αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dopfev » Παρ Σεπ 22, 2023 1:18 am

Σας ευχαριστώ πολύ!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: σύγκριση αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 23, 2023 12:35 am

dopfev έγραψε:
Πέμ Σεπ 21, 2023 10:43 am
Καλημέρα σας, με ύλη Α' Λυκείου μέχρι δυνάμεις και ταυτότητες, να συγκρίνετε τους αριθμούς A=\frac{10^{2011}-1}{10^{2012}-1} και B=\frac{10^{2012}-1}{10^{2013}-1}.
Αλλιώς: 'Εχουμε να συγκρίνουμε τους A και B. Ισοδύναμα μπορούμε να συγκρίνουμε τους 10A και 10B, δηλαδή τους

\displaystyle{\dfrac{10^{2012}-10}{10^{2012}-1} και \dfrac{10^{2013}-10}{10^{2013}-1}. Με άλλα λόγια έχουμε να συγκρίνουμε τους

1- \dfrac{9}{10^{2012}-1} και 1- \dfrac{9 }{10^{2013}-1}, ισοδύναμα τους

\displaystyle{\dfrac{9}{10^{2012}-1} και \dfrac{9 }{10^{2013}-1}, οπότε τους \dfrac{1}{10^{2012}-1} και \dfrac{1 }{10^{2013}-1}.

Αλλά ο δεύτερος είναι μικρότερος γιατί έχει μεγαλύτερο παρονομαστή. Τώρα ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία, και τα πράγματα είναι απλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης