Σύγκριση αριθμών

Συντονιστής: stranton

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13272
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Σύγκριση αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 18, 2022 11:22 am

Αν a+a^2+a^3+a^4+5a^5=b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4,

να συγκρίνετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b.

24 ώρες για μαθητές.


Λέξεις Κλειδιά:
σύγκριση-αριθμών
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15761
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 20, 2022 11:40 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 11:22 am
 Αν a+a^2+a^3+a^4+5a^5=b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4,

να συγκρίνετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b.
.
Eίναι a+a^2+a^3+a^4+5a^5-4=(5a-4)(1+a+a^2+a^3+a^4) και

b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7-4= (5b-4)(1+b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6).

Παρατηρούμε ότι οι 1+a+a^2+a^3+a^4,\, 1+b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6 είναι γνήσια θετικοί (απλό: Έπεται π.χ. από την 1+a+a^2+a^3+a^4 = \dfrac {a^5-1}{a-1} και το γεγονός ότι οι a^5,\, a είναι συγχρόνως μεγαλύτερες, ίσες ή μικρότερες από το 1, και λοιπά). Άρα οι (μοναδικές) ρίζες των

a+a^2+a^3+a^4+5a^5=4 και b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4

είναι οι a=\dfrac {4}{5} και b=\dfrac {4}{5}.

Συμπεραίνουμε ότι a=b.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15761
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 21, 2022 8:07 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 11:22 am
 Αν a+a^2+a^3+a^4+5a^5=b+b^2+b^3+b^4+b^5+b^6+5b^7=4,

να συγκρίνετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b.
Για όφελος των μαθητών ίσως αξίζει να πω τον τρόπο σκέψης για να μην φανεί ότι η τιμή a=b=\dfrac {4}{5} που έγραψα στο προηγούμενο ποστ είναι "ουρανοκατέβατη".

Η άσκηση ζητά να δούμε αν ισχύει a<b ή a=b ή a>b. Αρχίζουμε με το μεσαίο, οπότε εξετάζουμε ισότητα της μορφής

a+a^2+a^3+a^4+5a^5=a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6+5a^7, ισοδύναμα 5a^7+ a^6-4a^5=0. Δηλαδή

a^5(5a^2+a-4)=0. Άρα a=0 ή a=-1 ή a= \dfrac {4}{5} . Από αυτές, οι δύο πρώτες δεν ικανοποιούν την συνθήκη

a+a^2+a^3+a^4+5a^5=4, οπότε δεν μας κάνουν. Η a= \dfrac {4}{5} την ικανοποιεί, όπως βλέπουμε με έλεγχο. Και λοιπά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13272
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύγκριση αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 22, 2022 10:10 am

Ευχαριστώ τον Μιχάλη για τις λύσεις του. Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά.

\displaystyle a + {a^2} + {a^3} + {a^4} + {a^5} = 4 - 4{a^5} \Leftrightarrow a\frac{{1 - {a^5}}}{{1 - a}} = 4(1 - {a^5})\mathop \Leftrightarrow \limits^{a \ne 1} a = 4 - 4a \Leftrightarrow a = \frac{4}{5}

Ομοίως και για το b.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6423
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σύγκριση αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μάιος 22, 2022 6:58 pm

Ας θυμηθούμε και ένα πρόβλημα από την Μαθηματική Ολυμπιάδα των Η.Π.Α. του έτους 1989:

Αν \displaystyle{u,v\in \mathbb{R}} με \displaystyle{u+u^2+u^3+\cdots +u^8+10u^9=v+v^2+\cdots +v^{10}+10v^{11}=8}

να συγκριθούν οι \displaystyle{u,v.}


Μάγκος Θάνος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες