Φωλιασμένες συναρτήσεις.

#1

Έστω

συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\dfrac {1}{\sqrt [5] {1-x^5}}}$ .

Nα βρεθεί η $\underset{100}{\underbrace{f(f(f(...(f(f(x)))))}}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

Γεια σας.
Νομίζω μέχρι την τρίτη φωλιά f(f(f(x)))

υπάρχει πρόβλημα.
Ξεκινώντας με το πεδίο ορισμού της

που είναι το $(- \infty, 1)$ ,
περνάω στην fof

που απαιτεί
$f(x)<1 \Leftrightarrow 1-x^{5}>1 \Leftrightarrow x<0$ .
Επομένως, η fofof

δεν μπορεί να οριστεί καθώς θα έπρεπε
f(x)<0

, που δεν ισχύει για κανένα $x \in R$ .

Δεν ξέρω βέβαια τί συμβαίνει αν ορίσουμε αλλιώς την πέμπτη ρίζα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 9:41 pm
Γεια σας.
Νομίζω μέχρι την τρίτη φωλιά υπάρχει πρόβλημα.
Ξεκινώντας με το πεδίο ορισμού της που είναι το $(- \infty, 1)$ ,
περνάω στην που απαιτεί
$f(x)<1 \Leftrightarrow 1-x^{5}>1 \Leftrightarrow x<0$ .
Επομένως, η δεν μπορεί να οριστεί καθώς θα έπρεπε
, που δεν ισχύει για κανένα $x \in R$ .

Δεν ξέρω βέβαια τί συμβαίνει αν ορίσουμε αλλιώς την πέμπτη ρίζα.

Το συνηθισμένο είναι να θεωρούμε οτι η πέμπτη ρίζα έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$
(δεν είναι σχολικός ο φάκελλος)
Μια χαρά είναι η άσκηση.
Για να είμαστε απόλυτα εντάξει καλύτερα είναι να θεωρήσουμε την

$f:\mathbb{R}-\left \{ 0,1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}-\left \{ 0,1 \right \}$

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:14 pm
Το συνηθισμένο είναι να θεωρούμε οτι η πέμπτη ρίζα έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

Σωστά. Αυτό έχω κατά νου.

Λάμπρος Μπαλός · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 02, 2021 10:14 pm
Το συνηθισμένο είναι να θεωρούμε οτι η πέμπτη ρίζα έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$
Σωστά. Αυτό έχω κατά νου.

Ωραία. Με μπέρδεψε λίγο ο φάκελος αλλά όλα καλά.
Μάλιστα βγαίνει και όμορφα αλλά αδυνατώ να τη γράψω από κινητό.
Πάντως και στα σχολικά πλαίσια έχει αξία για τους μαθητές.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 3:33 pm
Έστω συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x)=\dfrac {1}{\sqrt [5] {1-x^5}}}$ .

Nα βρεθεί η $\underset{100}{\underbrace{f(f(f(...(f(f(x)))))}}$

Για να κλείνει.

Εύκολα βλέπουμε ότι

$\displaystyle{f(f(x)) = \dfrac {1}{\sqrt [5] {1-\dfrac {1}{1-x^5}} }= \dfrac {\sqrt [5] {1-x^5} }{-x}}$

οπότε (οι πράξεις θέλουν λίγο προσοχή)

$\displaystyle{f(f(f(x))) = \dfrac {\sqrt [5] {1-f^5(x)} }{-f(x)}=... = x}$

Με άλλα λόγια $f^{(3)}(x)=x$ , οπότε αναδρομικά $\displaystyle{x=f^{(3)}(x)=f^{(6)}(x)= f^{(9)}(x)=... = f^{(99)}(x)}$ και άρα

$\displaystyle{f^{(100)}(x)= f^{(99)}(f(x))=f(x)}$

Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Re: Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Re: Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Re: Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Re: Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Re: Φωλιασμένες συναρτήσεις.

Μέλη σε σύνδεση