Εξίσωση

Συντονιστής: stranton

User#0000

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από User#0000 » Παρ Απρ 23, 2021 6:21 pm

Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z} .

Να λυθεί η εξίσωση:

x+f(x)=xf(x) .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 23, 2021 8:00 pm

nikhtas30 έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 6:21 pm
Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z} .

Να λυθεί η εξίσωση:

x+f(x)=xf(x) .
Για δοθείσα f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z}, όποια και αν είναι αυτή, αποκλείεται η x=1 να είναι ρίζα (άμεσο με αντικατάσταση). Ψάχνουμε λοιπόν αν θα μπορούσε κάποιος άλλος θετικός φυσικός αριθμός n, διάφορος του 1, να είναι ρίζα. Θα ήταν τότε n+f(n)=nf(n) , άρα

f(n) = 1+ \dfrac {1}{n-1} . Επειδή όμως το σύνολο αφίξεως είναι οι ακέραιοι, πρέπει n-1=1, δηλαδή n=2. Πίσω στην εξίσωση, δίνει

f(2)=2.

Με άλλα λόγια αν η αρχική δοθείσα συνάρτηση ικανοποιεί f(2)=2 τότε η x=2 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Αν πάλι η δοθείσα συνάρτηση ικανοποιεί f(2) \ne 2, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.


User#0000

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από User#0000 » Τετ Μάιος 05, 2021 4:27 am

Αν f(x)=0\Rightarrow x=0 η εξίσωση είναι αδύνατη.

Για να ικανοποιείται η εξίσωση ψάχνουμε λύση με f(x)\neq 0 .

x+f(x)=xf(x)\Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{x}=1 \Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}=\frac{1}{f(x)}\neq 0\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}\neq 0\Leftrightarrow x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1\Leftrightarrow

x\geqslant 2\Leftrightarrow\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{x}\geqslant -\frac{1}{2}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{f(x)}\geqslant\frac{1}{2}>0\Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0 .
Για να ικανοποιείται η εξίσωση ψάχνουμε λύση με f(x)>0\Rightarrow f(x)\geqslant 1 .
Επίσης πρέπει να ισχύει ότι:

\frac{1}{f(x)}\geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow f(x)\leqslant 2 .

Οι πιθανές τιμές του f(x), ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση είναι το 1 και το 2 .

Αν f(x)=1\Rightarrow x+1=x η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν f(x)=2\Rightarrow x+2=2x\Leftrightarrow x=2 .

Οπότε τελικά, η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση x=2, όταν ικανοποιείται η συνθήκη f(2)=2, ενώ αν δεν ικανοποιείται η συνθήκη f(2)=2, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης