Παραμετρική ανίσωση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12306
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραμετρική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 20, 2020 7:32 am

Έστω : k>2 . Λύστε την ανίσωση : \dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k} .

Σημείωση : Άσκηση για διαγωνισμό , όχι για διαγώνισμα !



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2020 9:45 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 7:32 am
Έστω : k>2 . Λύστε την ανίσωση : \dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k} .

Σημείωση : Άσκηση για διαγωνισμό , όχι για διαγώνισμα !
Ο περιορισμός άμεσος από τους παρονομαστές. Τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος, κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα παραγοντοποιούμε (βολεύει να εργαστούμε με διαφορά τετραγώνων). Θα βρούμε

\displaystyle{ \dfrac {(4-k^2)(x^2-1)}{(kx-2)(2x-k)} \ge 0}. Αφού 4-k^2<0 ισοδυναμεί με την \displaystyle{ \dfrac {x^2-1}{(kx-2)(2x-k)} \le 0} και άρα με την

\displaystyle{(x^2-1)(kx-2)(2x-k)\le 0}, Πάλι ισοδύναμα \displaystyle{(x-1)(x+1)\left ( x-\dfrac {2}{k} \right )\left ( x-\dfrac {k}{2} \right )\le 0}

Οι ρίζες διατάσσονται ως \displaystyle{-1 < \dfrac {2}{k} < 1 < \dfrac {k}{2}  } και το τέλειωμα άμεσο: \displaystyle{x\in \left [ -1, \dfrac {2}{k} \right )\cup  \left [ 1,\dfrac {k}{2} \right )}
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 20, 2020 10:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 60
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Παραμετρική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

ΔΙΑΓΡΑΦΉ.
τελευταία επεξεργασία από Joaakim σε Παρ Ιαν 29, 2021 7:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2020 10:45 am

Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Edit: Βλέποντας τη λύση του κυρίου Μιχάλη καταλαβαίνω ότι έχω διαφορετικά αποτελέσματα. Μήπως μπορείτε να μου πείτε τι έχω κάνει λάθος;
Ένα πρόβλημα είναι για παράδειγμα εδώ:
Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Περίπτωση 1
|2x-k|=2x-k και |kx-2|=kx-2.
Τότε είναι:
2x-k≥kx-2<=>(kx+k)+(-2x-2)≤0<=>k(x+1)-2(x+1)≤0<=> 
   (k-2)(x+1)≤0
Είναι όμως k-2>2-2=0, οπότε πρέπει x≤-1.
Συγκεκριμένα, η υπόθεσή σου |2x-k|=2x-k προϋποθέτει 2x-k \ge 0 και η |kx-2|=kx-2 προϋποθέτει kx-2\le 0. Από εκεί και πέρα όταν λύνεις την ανίσωση για να καταλήξεις στην x\le -1 πρέπει να κρατήσεις μόνο εκείνα τα x που ικνοποιούν τις προϋποθέσεις (αφού τις χρησιμοποίησες). Η πρώτη για παράδειγμα απαιτεί x\ge k/2, οπότε απορρίπτονται όλες οι τιμές x\le -1.

Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2020 10:56 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 7:32 am
Έστω : k>2 . Λύστε την ανίσωση : \dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k} .
Άλλος τρόπος αντιμετώπισης είναι: Γράφουμε y=\dfrac{2x-k}{kx-2} οπότε (με περιορισμούς) η ανίσωση είναι η y \ge \dfrac {1}{y} , ισοδύναμα (y-1)y(y+1) \ge 0. Άρα -1\le y\le 0 ή y\ge 1. Τώρα λύνουμε τις -1\le \dfrac{2x-k}{kx-2} \le 0 ή \dfrac{2x-k}{kx-2}\ge 1 , που είναι στάνταρ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2020 11:35 am

Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο
Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:
(2x-k)^2≥(kx-2)^2
χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;


Joaakim
Δημοσιεύσεις: 60
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Παραμετρική ανίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Κυρ Δεκ 20, 2020 12:00 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 11:35 am
Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο
Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:
(2x-k)^2≥(kx-2)^2
χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;
Νομίζω επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο των 2x-k και kx-2, δεν γνωρίζουμε και την φορά που θα πάρει η ανίσωση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραμετρική ανίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 20, 2020 12:51 pm

Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 12:00 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 11:35 am
Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο
Joaakim έγραψε:
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:
(2x-k)^2≥(kx-2)^2
χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;
Νομίζω επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο των 2x-k και kx-2, δεν γνωρίζουμε και την φορά που θα πάρει η ανίσωση.
Σωστά. Ας δούμε την αιτία.

Έχουμε μία ανίσωση της μορφής \dfrac {a}{b} \ge \dfrac {b}{a}. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί τον θετικό a^2b^2 (όχι επί ab που

φαίνεται να έκανες). Θα πάρουμε a^3b\ge ab^3, ισοδύναμα ab(a^2-b^2) \ge 0 αντί του a^2-b^2 \ge 0 που γράφεις. Οπότε οι δύο παραπάνω

όροι a,\,b επειρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης