Ισορροπημένος μέσος

KARKAR · #1

Για :

ορίζουμε ως : Ισορροπημένο Μέσο , τον αριθμό : $IM=\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}$

α) Βρείτε ( ως παράδειγμα ) τον Ισορροπημένο Μέσο των αριθμών 6,8

β) Δείξτε ότι ο

είναι όντως μέσος , δηλαδή : a< IM < b

γ) Βρείτε τη θέση που ταιριάζει στον

, στην κατάταξη : a<HM < GM < AM < TM< b

.

Υπενθύμιση : αρμονικός μέσος , γεωμετρικός , αριθμητικός , τετραγωνικός .

Manolis Petrakis · #2

Α) $IM=\dfrac{\sqrt {3\cdot 36+64}+\sqrt {3\cdot 64+ 36}}{4}=\dfrac{\sqrt {172}+\sqrt {228}}{4}=\dfrac{\sqrt {43}+\sqrt {59}}{2}$
B) $\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}>\dfrac{\sqrt{4a^2}+\sqrt{4a^2} }{4}=a$
Και ομοίως: $\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}<\dfrac{\sqrt{4b^2}+\sqrt{4b^2} }{4}<b$
Γ) Είναι $\dfrac{a+b}{2}<\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+8ab<4a^2+4b^2+2\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}$

$\Leftrightarrow 4ab<\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}\Leftrightarrow 16a^2b^2<3a^4+3b^4+10a^2b^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2-b^2)^2>0$ ισχύει
Ακόμη
$\sqrt {\dfrac{a^2+b^2}{2}}>\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}>\dfrac{4(a^2+b^2)+2\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}}{16}$

$\Leftrightarrow 8(a^2+b^2)>4(a^2+b^2)+2\sqrt{3a^4+3b^4+10a^2b^2}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)>\sqrt{3a^4+3b^4+10a^2b^2}$
$\Leftrightarrow 4a^4+8a^2b^2+4b^4<3a^4+10a^2b^2+3b^4$
$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2>0$ ισχύει
Έτσι a<HM < GM < AM < IM < TM< b

Ισορροπημένος μέσος

Ισορροπημένος μέσος

Re: Ισορροπημένος μέσος

Μέλη σε σύνδεση