Απόλυτο-παραμετρική

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Απόλυτο-παραμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:21 pm

Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου a, για την οποία η εξίσωση

\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:51 pm

Προφανώς a\in \mathbb{N}
•Αν a=0 τότε 7-|x|=0\Leftrightarrow x=\pm 7 (2 ρίζες)
•Αν a=1 τότε 7-|x|=|x|-2\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{9}{2}
Ή 7-|x|=2-|x| αδύνατο (2 ρίζες)
•Αν a=2 τότε 7-|x|=2(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{11}{3}
Ή 7-|x|=2(2-|x|)\Leftrightarrow |x|=-3 αδύνατη (2 ρίζες)
•Αν a=3 τότε 7-|x|=3(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{13}{4}
Ή 7-|x|=3(2-|x|)\Leftrightarrow |x|=-\frac{1}{2} αδύνατη (2 ρίζες)
•Αν a=4 τότε 7-|x|=4(|x|-2)\Leftrightarrow x=\pm 3
Ή 7-|x|=4(2-|x|)\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{3} (4 ρίζες)
Έτσι a_{min}=4


M\alpha \nu \acute{\omega} \lambda \eta \varsigma
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:58 pm

:coolspeak: Να βρείτε γενικά για ποιές πραγματικές τιμές του a έχει η εξίσωση ακριβώς τέσσερεις ρίζες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 23, 2020 6:34 pm

Αρχικά, a>0 (Αν a<0 δεν έχει λύση, ενώ αν a=0 έχει δύο ρίζες). Άρα, \boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = a} (1) ή \boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = -a} (2)

Η (1) δίνει \displaystyle |x| = \frac{{2a + 7}}{{a + 1}}, απ' όπου προκύπτουν δύο ρίζες (αφού a>0).

H (2) δίνει \displaystyle |x| = \frac{{2a - 7}}{{a - 1}}. Για να έχει και αυτή δύο ρίζες, πρέπει \displaystyle \frac{{2a - 7}}{{a - 1}} > 0 \Leftrightarrow a > \frac{7}{2} ή \displaystyle a < 1

Για να έχουμε λοιπόν ακριβώς τέσσερις ρίζες πρέπει \boxed{a \in (0,1) \cup \left( {\frac{7}{2}, + \infty } \right)}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm

Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}} για a >0.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 23, 2020 11:01 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm
Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

\dfrac{{2a + 7}}{{a + 1}} \neq \dfrac{{2a - 7}}{{a - 1}} για a >0.
Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι a\ne0.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1256
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 23, 2020 11:11 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Νοέμ 23, 2020 11:01 pm

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι a\ne0.
Σωστά! :coolspeak:


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 353
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Απόλυτο-παραμετρική

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Νοέμ 28, 2020 11:34 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 1:21 pm
Να βρείτε την ελάχιστη ακέραια τιμή της παραμέτρου a, για την οποία η εξίσωση

\left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a

έχει ακριβώς τέσσερεις ρίζες.
Καλησπέρα . Μια προσπάθεια με χρήση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης .
Κατ' αρχάς έχουμε περιορισμό x\neq \pm 2 και a>0.
Είναι \left | \dfrac{7-\left | x\right |}{\left | x\right|-2} \right | = a \Leftrightarrow  |7-|x||=a||x|-2|  \Leftrightarrow \left ( \left | 7-|x| \right | \right )^2= a^2 \left ( \left | |x|-2 \right | \right )^2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left ( a^2-1 \right )|x|^2 -2(a^2-7)|x|+4a^2-49=0 (1)
Θέτω |x|=w.
Έχω : \left ( a^2-1 \right )w^2 -2(a^2-7)w+4a^2-49=0 (2)
Για να έχει η (1) τέσσερεις ρίζες θα πρέπει η (2) να έχει δύο ρίζες θετικές.
Δηλαδή με χρήση τύπων Vieta πρέπει το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών να είναι θετικά.
Συνεπώς έχουμε P>0 \Leftrightarrow \frac{4a^2-49}{a^2-1}>0\Leftrightarrow (2a-7)(2a+7)(a-1)(a+1)>0 και επειδή a>0 ισχύει a\in (0 ,1)\cup \left ( \frac{7}{2},+\infty \right ) .

Επίσης S>0 \Leftrightarrow \frac{2(a^2-7)}{a^2-1}>0\Leftrightarrow 2(a-\sqrt{7})(2a+\sqrt{7})(a-1)(a+1)>0 και
επειδή a>0 ισχύει a\in (0 ,1)\cup \left (\sqrt{7}},+\infty \right ) .
Τελικά συναληθεύοντας έχουμε a\in (0 ,1)\cup \left ( \frac{7}{2},+\infty \right ) .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες