Τετράγωνο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

φυσικός.
Αν ο $A=\frac{9}{2}(2a+1+\sqrt{4a+1})$
είναι φυσικός δείξτε ότι
είναι τετράγωνο φυσικού.

Ι.Μαντάς

Filippos Athos · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 19, 2020 1:34 am
Εστω φυσικός.
Αν ο $A=\frac{9}{2}(2a+1+\sqrt{4a+1})$
είναι φυσικός δείξτε ότι
είναι τετράγωνο φυσικού.

Ι.Μαντάς

Καλημέρα

Έστω $4a+1=x^{2}(1)$ (αφού

φυσικός) τότε η ισότητα γράφεται $A=\frac{9}{2}(\frac{x^{2}-1}{2}+1+x)$ αφού $4a=x^{2}-1\Rightarrow 2a=\frac{x^{2}-1}{2}$

$A=\frac{9}{2}(\frac{x^{2}-1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2x}{2})=\frac{9}{2}(\frac{x^{2}+2x+1}{2})=\frac{9}{4}(x+1)^{2}=(\frac{3}{2}(x+1))^{2}$

Μένει να αποδείξουμε ότι $\frac{3}{2}(x+1)$ είναι φυσικός

Από το (1)

ξέρουμε ότι $x\equiv 1mod2\Rightarrow \frac{3}{2}(x+1)$ είναι φυσικός.

#3

Ελάχιστα διαφορετικά:

Αφού 4a+1=x^2

άρα ο

είναι περιττός, έστω x=2k+1

συνεπώς

. Αντικαθιστώντας τώρα έχουμε $A=\ldots=\left[3(k+1)\right]^2$ .

Αλέξανδρος

Τετράγωνο

Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Re: Τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση