Απλοποίηση
Συντονιστής: stranton
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: Απλοποίηση
'Εχουμεgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pmΝα απλοποιήσετε την παράσταση
24 ώρες για μαθητές.
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο:
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα
Έχουμε (Αφού θετικός)
τελευταία επεξεργασία από Filippos Athos σε Παρ Ιούλ 24, 2020 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Απλοποίηση
Για όφελος των μαθητών μας, ας το δούμε και αλλιώς. To κάνω κάπως σχολαστικά. Σε όλες τις περιπτώσεις γίνεται χρήση του . Εδώ
. Όμοια ,
οπότε ο αριθμητής ισούται με .
Για τον παρονομαστή βολεύει να πολλαπλασιάσουμε (και αργότερα να διαιρέσουμε) με . Έτσι
. Όμοια , οπότε η διαφορά τους είναι .
Τελικά το κλάσμα ισούται με
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Ιούλ 24, 2020 8:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: Απλοποίηση
Για να μην βγάλετε τα μάτια σας μέχρι να καταλάβετε τι γράφει εδώ πάνω (ακόμη και εγώ παιδεύομαι όταν το ξαναβλέπω),έχω άλλη μία λύση πάλι με την ταυτότητα και
Ας θέσουμε
Έχουμε αφού όπως έγραψα στην προηγούμενη λύση μου
Όμοια
Άρα
και
Οπότε
τελευταία επεξεργασία από Filippos Athos σε Παρ Ιούλ 24, 2020 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Απλοποίηση
Και εδώ αλλά και στο (#4), όπου έχεις γράψει τέταρτη ρίζα είναι τετραγωνική. Το τελικό αποτέλεσμα συμπτωματικά δεν αλλοιώνεται γιατίFilippos Athos έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm'Εχουμεgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pmΝα απλοποιήσετε την παράσταση
24 ώρες για μαθητές.
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο:
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα
Έχουμε (Αφού θετικός)
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: Απλοποίηση
Έχετε απόλυτο δίκιο ,το διώρθωσαgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Ιούλ 24, 2020 10:10 amΚαι εδώ αλλά και στο (#4), όπου έχεις γράψει τέταρτη ρίζα είναι τετραγωνική. Το τελικό αποτέλεσμα συμπτωματικά δεν αλλοιώνεται γιατίFilippos Athos έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:33 pm'Εχουμεgeorge visvikis έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 23, 2020 6:49 pmΝα απλοποιήσετε την παράσταση
24 ώρες για μαθητές.
Κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε στο:
Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα
Έχουμε (Αφού θετικός)
Re: Απλοποίηση
Οι προτεινόμενες λύσεις γεννούν την υποψία ότι η μετατροπή διπλών ριζικών σε απλά δεν περιλαμβάνονται στη σχολική διδακτέα ύλη σήμερα, σε αντίθεση με τη δεκαετία του 1960 ή ενωρίτερα. Το #3 (Michalis_Lambrou) υποδεικνύει μια πρόσφορη παιδαγωγικά μέθοδο απλοποίησης των ριζικών αυτών βασισμένη στο τετράγωνο του δυωνύμου, την οποία αναφέρει και ο Ν. Δ. Νικολάου στην Άλγεβρά του (εκδοση Α, 1932, και πιθανότατα στις επόμενες).
Άλλα παλιά βιβλία Άλγεβρας (Γ. Παπανικολάου, σχολικό Ν. Σακελλαρίου) αποδεικνύουν ένα κάπως διαφορετικό (φαινομενικά) κανόνα, που λέει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη μετατροπής του σε απλά ριζικά είναι η διαφορά να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή της μορφής ,
και τότε
όπου Α, Β, G ρητοί (πραγματικοί) αριθμοί, όλοι θετικοί.
Εφαρμόζοντας λοιπόν τον κανόνα αυτό, έχουμε τα παρακάτω:
1. , όπου G=1.
ομοίως , οπότε
2. επίσης , όπου G=1
και
οπότε
Από τα (1) και (2) προκύπτει με διαίρεση η τιμή 2 για την παράσταση προς απλοποίηση.
To κριτήριο βοηθάει να αντιληφθεί κάποιος άμεσα αν χωράει απλοποίηση του διπλού ριζικού.
Διόρθωση ~19:30 : Διαγράφτηκε ο Τόγκας από αυτούς που ακολουθούν τη μεθοδολογία , εφαρμόζει τη μέθοδο τετραγώνου του δυωνύμου σε ένα σημείο της άλγεβρας του.
Άλλα παλιά βιβλία Άλγεβρας (Γ. Παπανικολάου, σχολικό Ν. Σακελλαρίου) αποδεικνύουν ένα κάπως διαφορετικό (φαινομενικά) κανόνα, που λέει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη μετατροπής του σε απλά ριζικά είναι η διαφορά να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή της μορφής ,
και τότε
όπου Α, Β, G ρητοί (πραγματικοί) αριθμοί, όλοι θετικοί.
Εφαρμόζοντας λοιπόν τον κανόνα αυτό, έχουμε τα παρακάτω:
1. , όπου G=1.
ομοίως , οπότε
2. επίσης , όπου G=1
και
οπότε
Από τα (1) και (2) προκύπτει με διαίρεση η τιμή 2 για την παράσταση προς απλοποίηση.
To κριτήριο βοηθάει να αντιληφθεί κάποιος άμεσα αν χωράει απλοποίηση του διπλού ριζικού.
Διόρθωση ~19:30 : Διαγράφτηκε ο Τόγκας από αυτούς που ακολουθούν τη μεθοδολογία , εφαρμόζει τη μέθοδο τετραγώνου του δυωνύμου σε ένα σημείο της άλγεβρας του.
τελευταία επεξεργασία από kkala σε Σάβ Ιούλ 25, 2020 7:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κώστας Καλαϊτζόγλου
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Απλοποίηση
Πράγματι δεν διδάσκεται (εδώ και πολλά χρόνια) αυτή η τεχνική. Εγώ το διδάχτηκα από το βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα.kkala έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 25, 2020 6:23 pmΟι προτεινόμενες λύσεις γεννούν την υποψία ότι η μετατροπή διπλών ριζικών σε απλά δεν περιλαμβάνονται στη σχολική διδακτέα ύλη σήμερα, σε αντίθεση με τη δεκαετία του 1960 ή ενωρίτερα. Το #3 (Michalis_Lambrou) υποδεικνύει μια πρόσφορη παιδαγωγικά μέθοδο απλοποίησης των ριζικών αυτών βασισμένη στο τετράγωνο του δυωνύμου, την οποία αναφέρει και ο Ν. Δ. Νικολάου στην Άλγεβρά του (εκδοση Α, 1932, και πιθανότατα στις επόμενες).
Άλλα παλιά βιβλία Άλγεβρας (Γ. Παπανικολάου, σχολικό Ν. Σακελλαρίου, Τόγκας) αποδεικνύουν ένα κάπως διαφορετικό (φαινομενικά) κανόνα, που λέει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη μετατροπής του σε απλά ριζικά είναι η διαφορά να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή της μορφής ,
και τότε
όπου Α, Β, G ρητοί (πραγματικοί) αριθμοί, όλοι θετικοί.
Εφαρμόζοντας λοιπόν τον κανόνα αυτό, έχουμε τα παρακάτω:
1. , όπου G=1.
ομοίως , οπότε
2. επίσης , όπου G=1
και
οπότε
Από τα (1) και (2) προκύπτει με διαίρεση η τιμή 2 για την παράσταση προς απλοποίηση.
To κριτήριο βοηθάει να αντιληφθεί κάποιος αν χωράει απλοποίηση του διπλού ριζικού. Χρήσιμο σε πολλαπλ'α διπλά ριζικά, διτετράγωνες εξισώσεις, κλπ.
Ας αποστηθίσουν τουλάχιστον οι μαθητές τη συνθήκη ώστε να γνωρίζουν αν μπορεί να απλοποιηθεί
το διπλό ριζικό. Έχει συζητηθεί ξανά αυτή η τεχνική εδώ και στις παραπομπές.
Re: Απλοποίηση
Το κριτήριο (1) διαπιστώνει αν το ριζικό απλοποιείται, αλλά πιθανότατα ο μαθητής θα χάσει κάτι στη βαθμολογία αν εφαρμόσει απευθείας το αποτέλεσμα , διότι δεν περιέχεται στη διδακτέα ύλη. Μια διέξοδος είναι να χρησιμοποιήσει το γνωστό ανάπτυγμα του δυωνύμου. Βλέπε παράδειγμα στο #3 (Mihalis_Lambrou). Αν η μετατροπή του υπορρίζου σε τέλειο τετράγωνο έχει δυσκολία (εφόσον βέβαια ισχύει η (1)), μπορούμε να προχωρήσουμε κατά τα παρακάτω.
Δηλαδή προσθαφαιρούμε στην παράσταση του υπόρριζου το G/2 (ευκολοαπομνημόνευτο), με σκοπό να το κάνουμε τέλειο τετράγωνο.
Δηλαδή προσθαφαιρούμε στην παράσταση του υπόρριζου το G/2 (ευκολοαπομνημόνευτο), με σκοπό να το κάνουμε τέλειο τετράγωνο.
Κώστας Καλαϊτζόγλου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες