Ελάχιστη τιμή Α'

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη τιμή Α'

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 28, 2020 1:30 pm

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{(x+2)(2x+9)}{5x} , x>0
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Μάιος 28, 2020 7:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7205
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστη τιμή Α'

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 28, 2020 3:06 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μάιος 28, 2020 3:06 pm
KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 28, 2020 1:30 pm
Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{(x+2)(2x+9)}{5x} , x>0
y = f(x) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 9} \right)}}{{5x}}\,\,,\,\,x > 0

Η εξίσωση γράφεται : 2{x^2} + \left( {13 - 5y} \right)x + 18 = 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x > 0

Επειδή πρέπει για τη διακρίνουσα : \Delta  = {\left( {13 - 5y} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 18 \geqslant 0 \Leftrightarrow |5y - 13| \geqslant 12

Διακρίνω δυο περιπτώσεις :
min.png
min.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές
α) 5y - 13 \leqslant 0 \Leftrightarrow y \leqslant \dfrac{{13}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 9} \right)}}{{5x}} \leqslant \dfrac{{13}}{5} κι αφού x > 0 προκύπτει :

2{x^2} + 13x + 5 \leqslant 0 που ισχύει εφ’ όσον το x διατρέχει το διάστημα των ριζών αυτού του τριωνύμου που είναι όμως και οι δύο αρνητικές .

Άρα η περίπτωση αυτή απορρίπτεται .

β) 5y - 13 \geqslant 0 τότε 5y - 13 \geqslant 12 \Rightarrow y \geqslant 5 δηλαδή το ελάχιστο της συνάρτησης είναι 5 , για x=3


Παρατήρηση :

τότε η αντίστοιχη ανίσωση : 2{x^2} + 13x + 5 \geqslant 0 προφανώς και είναι αληθής αφού x > 0.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη τιμή Α'

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 28, 2020 4:21 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 28, 2020 1:30 pm
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{(x+2)(2x+9)}{5x} , x>0
\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} + 13x + 18}}{{5x}},x > 0

\displaystyle 2{(x - 3)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 18 \ge 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 13x + 18 \ge 25x κι επειδή x>0,

\displaystyle \frac{{2{x^2} + 13x + 18}}{{5x}} \ge 5 \Leftrightarrow \boxed{f(x)\ge 5} με την ισότητα να ισχύει για \boxed{x=3}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τιμή Α'

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 28, 2020 7:01 pm

Καλησπέρα σε όλους. Βρίσκω το ελάχιστο της παράστασης με τη μέθοδο των "παλαιών".

 \displaystyle f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 9} \right)}}{{5x}} = \frac{{2{x^2} + 13x + 9}}{{5x}} = \frac{2}{5}\left( {x + \frac{9}{x}} \right) + \frac{{13}}{5} , x > 0.

Οι θετικοί αριθμοί  \displaystyle x,\;\;\frac{9}{x} έχουν σταθερό γινόμενο, άρα θα έχουν ελάχιστο άθροισμα αν γίνουν ίσοι, εφόσον μπορεί να γίνουν ίσοι.

Αυτό συμβαίνει για x=3, με ελάχιστη τιμή  \displaystyle f\left( 3 \right) = 5 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης