Χωρίς σύστημα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Αν : $a\neq b$ και : $\begin{matrix} a^2-7a&=5b \\ b^2-7b&=5a \end{matrix}$ , υπολογίστε το a^2+b^2

.

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους a , b

jimth · #2

Διαγράφτηκε λανθασμένη λύση.

S.E.Louridas · #3

Έχουμε: ${a^4} = 49{a^2} + 70ab + 25{b^2},\;{b^4} = 49{b^2} + 70ab + 25{a^2} \Rightarrow$ ${a^4} - {b^4} = 24\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \Rightarrow a + b = 0\;{\text{\dot \eta }}\;{a^2} + {b^2} = 24.$
Αν a + b=0

, τότε ${a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0,$ πράγμα άτοπο.

#4

Καλησπέρα σε όλους.

Αφαιρώ κατά μέλη: $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} - 7a}&{ = 5b}\\ {{b^2} - 7b}&{ = 5a} \end{array} \Rightarrow {a^2} - 2a = {b^2} - 2b \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 2\left( {a - b} \right) \Leftrightarrow a + b = 2} \right.$

Προσθέτω κατά μέλη: $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} - 7a}&{ = 5b}\\ {{b^2} - 7b}&{ = 5a} \end{array} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 12\left( {a + b} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 24} \right.$

Οπότε $\displaystyle 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = - 20 \Leftrightarrow ab = - 10$

Έτσι, τα a, b

είναι ρίζες της $\displaystyle {t^2} - 2t - 10 = 0$ , δηλαδή είναι $\displaystyle a,b = 1 \pm \sqrt {11}$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2020 7:40 pm
$\bigstar$ Αν : $a\neq b$ και : $\begin{matrix} a^2-7a&=5b \\ b^2-7b&=5a \end{matrix}$ , υπολογίστε το .

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους

Αφαιρώντας είναι a^2-b^2=2(a-b)

και άρα

(αφού $a-b\ne 0$ ). Προσθέτοντας είναι $a^2+b^2=12(a+b)=12\cdot 2 =24$ .

Αν θέλουμε να συνεχίσουμε, από τις δύο προηγούμενες εύκολα βλέπουμε τελικά ότι τα a,b

είναι τα $1\pm \sqrt {11}$

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος, με την ίδια λύση.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2020 7:40 pm
$\bigstar$ Αν : $a\neq b$ και : $\begin{matrix} a^2-7a&=5b \\ b^2-7b&=5a \end{matrix}$ , υπολογίστε το .

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους

Πολ/ζω κατά μέλη: $\displaystyle ab(ab - 7a - 7b + 24) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{ab \ne 0}$ $\boxed{ab = 7(a + b) - 24}$ (1)

Πολ/ζω την 1η επί

και τη δεύτερη επί

και τις αφαιρώ κατά μέλη:

$\displaystyle {a^3} - {b^3} = 7({a^2} - {b^2}) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + ab = 7(a + b)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{a^2+b^2=24}$

Χωρίς σύστημα

Χωρίς σύστημα

Re: Χωρίς σύστημα

Re: Χωρίς σύστημα

Re: Χωρίς σύστημα

Re: Χωρίς σύστημα

Re: Χωρίς σύστημα

Μέλη σε σύνδεση