Χωρίς σύστημα

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11876
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χωρίς σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 24, 2020 7:40 pm

\bigstar Αν : a\neq b και : \begin{matrix}
a^2-7a&=5b  \\
 b^2-7b&=5a
\end{matrix} , υπολογίστε το a^2+b^2 .

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους a , b :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
jimth
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 12:53 pm

Re: Χωρίς σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jimth » Παρ Απρ 24, 2020 9:17 pm

Διαγράφτηκε λανθασμένη λύση.
τελευταία επεξεργασία από jimth σε Παρ Απρ 24, 2020 11:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5530
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Χωρίς σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Απρ 24, 2020 10:44 pm

Έχουμε: {a^4} = 49{a^2} + 70ab + 25{b^2},\;{b^4} = 49{b^2} + 70ab + 25{a^2} \Rightarrow {a^4} - {b^4} = 24\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \Rightarrow a + b = 0\;{\text{\dot \eta }}\;{a^2} + {b^2} = 24.
Αν a + b=0, τότε {a^2} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = 0, πράγμα άτοπο.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4712
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Χωρίς σύστημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Απρ 25, 2020 12:00 am

Καλησπέρα σε όλους.

Αφαιρώ κατά μέλη:  \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{a^2} - 7a}&{ = 5b}\\ 
{{b^2} - 7b}&{ = 5a} 
\end{array} \Rightarrow {a^2} - 2a = {b^2} - 2b \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 2\left( {a - b} \right) \Leftrightarrow a + b = 2} \right.

Προσθέτω κατά μέλη:  \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{a^2} - 7a}&{ = 5b}\\ 
{{b^2} - 7b}&{ = 5a} 
\end{array} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 12\left( {a + b} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 24} \right.

Οπότε  \displaystyle 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) =  - 20 \Leftrightarrow ab =  - 10

Έτσι, τα a, b είναι ρίζες της  \displaystyle {t^2} - 2t - 10 = 0 , δηλαδή είναι  \displaystyle a,b = 1 \pm \sqrt {11} .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12624
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Χωρίς σύστημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 25, 2020 12:01 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 24, 2020 7:40 pm
\bigstar Αν : a\neq b και : \begin{matrix} 
a^2-7a&=5b  \\ 
 b^2-7b&=5a 
\end{matrix} , υπολογίστε το a^2+b^2 .

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους a , b :lol:
Αφαιρώντας είναι a^2-b^2=2(a-b) και άρα a+b=2 (αφού a-b\ne 0). Προσθέτοντας είναι a^2+b^2=12(a+b)=12\cdot 2 =24.

Αν θέλουμε να συνεχίσουμε, από τις δύο προηγούμενες εύκολα βλέπουμε τελικά ότι τα a,b είναι τα 1\pm \sqrt {11}

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος, με την ίδια λύση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9790
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χωρίς σύστημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 25, 2020 11:48 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 24, 2020 7:40 pm
\bigstar Αν : a\neq b και : \begin{matrix} 
a^2-7a&=5b  \\ 
 b^2-7b&=5a 
\end{matrix} , υπολογίστε το a^2+b^2 .

Μόνο αν απαντήσατε στο ερώτημα , δικαιούστε να βρείτε τους a , b :lol:
Πολ/ζω κατά μέλη: \displaystyle ab(ab - 7a - 7b + 24) = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ab \ne 0} \boxed{ab = 7(a + b) - 24} (1)

Πολ/ζω την 1η επί a και τη δεύτερη επί b και τις αφαιρώ κατά μέλη:

\displaystyle {a^3} - {b^3} = 7({a^2} - {b^2}) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + ab = 7(a + b)\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{a^2+b^2=24}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης