Σελίδα 1 από 1

Επίλυση τεταρτοβάθμιας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 24, 2020 7:42 am
από KARKAR
\bigstar α) Δείξτε ότι η εξίσωση : x^4-6x^2+8x+24=0 ,

είναι ισοδύναμη με την : x^4+10x^2+25=16x^2-8x+1

β) Λύστε την εξίσωση : x^4-6x^2+8x+24=0 .

Θυμίζω ότι είναι άσκηση για την Α' , μην σκέφτεστε το σχήμα Horner !

Re: Επίλυση τεταρτοβάθμιας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 24, 2020 8:58 am
από jimth
α) Κάνω πράξεις στη δεύτερη και προκύπτει η αρχική.
β) ...\Leftrightarrow (x^{4}-8x^{2}+16)+(2x^{2}+8x+8)\Leftrightarrow (x^{2}-4)^{2}+(\sqrt{2}x+\sqrt{8})^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}=4
και \sqrt{2}x=-\sqrt{8}. Τελικά, x=-2.

Re: Επίλυση τεταρτοβάθμιας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 24, 2020 10:32 am
από Mihalis_Lambrou
jimth έγραψε:
Παρ Απρ 24, 2020 8:58 am
α) Κάνω πράξεις στη δεύτερη και προκύπτει η αρχική.
β) ...\Leftrightarrow (x^{4}-8x^{2}+16)+(2x^{2}+8x+8)\Leftrightarrow (x^{2}-4)^{2}+(\sqrt{2}x+\sqrt{8})^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}=4
και \sqrt{2}x=-\sqrt{8}. Τελικά, x=-2.
Σωστή και ενδιαφέρουσα λύση αλλά νομίζω ότι άλλο ήταν το πνεύμα της άσκησης. Αλλιώς ακυρώνεται το ενδιάμεσο βήμα \displaystyle{ x^4+10x^2+25=16x^2-8x+1}

Από εκεί λοιπόν, \displaystyle{(x^2+5)^2=(4x-1)^2}, άρα \displaystyle{x^2+5=\pm (4x-1)}. Ανάγεται στις εξισώσεις \displaystyle{x^2-4x+6=0} (αδύνατη) και την \displaystyle{x^2+4x+4=0} με διπλή ρίζα το x=-2.