Παραγοντοποίηση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15082
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραγοντοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 18, 2019 9:44 pm

Βρείτε τον k , αν για κάποιους πραγματικούς a και b

ισχύουν : \left\{\begin{matrix}
a+b & =k\\ 
a^2+b^2 & =5k\\ 
a^3+b^3 & =k^4+5k
\end{matrix}\right.



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Παραγοντοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Τετ Δεκ 18, 2019 10:33 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 9:44 pm
Βρείτε τον k , αν για κάποιους πραγματικούς a και b

ισχύουν : \left\{\begin{matrix} 
a+b & =k \\  
a^2+b^2 & =5k \\  
a^3+b^3 & =k^4+5k  
\end{matrix}\right.
Καλησπέρα...

Από τις δοθείσες και την ταυτότητα:

\displaystyle{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}

προκύπτει:

\displaystyle{k^4+5k=k(5k-ab)}

Συνεπώς:

\displaystyle{ab=5k-k^3-5 \  \ (1)}

Όμοια από τις δοθείσες και από την ταυτότητα:

\displaystyle{(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)}

προκύπτει:

\displaystyle{k^3=k^4+5k+3abk}

Δηλαδή:

\displaystyle{ab=\frac{k^2-k^3-5}{3} \  \ (2)}

Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη προκύπτει:

\displaystyle{2k^3+k^2-15k+10=0 \  \ (3)}

Η εξίσωση αυτή εύκολα λύνεται και δίνει:

\displaystyle{k_o=2, \  \ k_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{65}}{4} }

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 2105
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παραγοντοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 19, 2019 1:39 am

Και η k=0 και τώρα τις έχουμε όλες.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2359
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Παραγοντοποίηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Δεκ 19, 2019 7:55 am

Christos.N έγραψε:
Πέμ Δεκ 19, 2019 1:39 am
Και η k=0 και τώρα τις έχουμε όλες.
Χρήστο καλημέρα!
Έχεις δίκιο και ευχαριστώ για τη συμπλήρωση.
Εγώ στη βιασύνη μου δεν έλαβα υπόψη μου καθώς κατέληγα στις σχέσεις (1) και (2)
διαιρώντας τις αντίστοιχες προηγούμενες σχέσεις με το \displaystyle{k}, δεν
διέκρινα την περίπτωση αυτή.

Ευχαριστώ ακόμα για το προσωπικό μήνυμα τον Θεδόσιο Φωτιάδη που
συμπληρώνει για την απόρριψη της αρνητικής ρίζας

\displaystyle{k=\frac{-5-\sqrt{65}}{4}}

καθόσον από τη δοθείσα \displaystyle{a^2+b^2=5k} προκύπτει ότι \displaystyle{k\geq0}.

Τελικά οι τιμές του \displaystyle{k} που ζητούνται είναι:

\displaystyle{ k=0, \  \ k=2,\  \  k=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}

Κώστας Δόρτσιος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3603
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραγοντοποίηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Δεκ 19, 2019 10:59 am

Για να το δούμε λίγο διαφορετικά.
Από (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab
παίρνουμε
ab=\frac{k(k-5)}{2}(1)
Από
(a+b)(a^{2}+b^{2})=a^{3}+b^{3}+ab(a+b)
και αντικαθιστώντας την (1)
παίρνουμε
2k^{4}+k^{3}-15k^{2}+10k=0
και μετά τις τιμές που βρίσκει ο Κώστας.


Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα.
Για τις τρεις τιμές του k που βρίσκουμε(την αρνητική εύκολα την απορρίπτουμε)
πως ξέρουμε ότι υπάρχουν τα a,b;
Για να είναι πλήρης η λύση θα πρέπει να βρούμε και τα a,b η έστω να αποδείξουμε
ότι υπάρχουν


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραγοντοποίηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 19, 2019 1:30 pm

\displaystyle  \bullet Τα a, b είναι ρίζες της εξίσωσης \displaystyle 2{x^2} - 2kx + {k^2} - 5k = 0 με \displaystyle \Delta  =  - 4k(k - 10) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le k \le 10

Για τις τιμές λοιπόν του k που έχουν βρεθεί πιο πάνω, πάντα υπάρχουν οι αριθμοί a, b.

\displaystyle  \bullet Για να έχει βάλει ο Θανάσης τον τίτλο "Παραγοντοποίηση", μάλλον θέλει να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο

\displaystyle P(k) = 2{k^4} + {k^3} - 15{k^2} + 10k = k(2{k^3} + {k^2} - 15k + 10) (χωρίς \displaystyle {\rm{Horner}} αφού είμαστε σε φάκελο Α Λυκείου)

\displaystyle P(k) = k\left( {2{k^3} - 8k + {k^2} - 7k + 10} \right) = k\left( {2k(k - 2)(k + 2) + (k - 2)(k - 5)} \right)

\displaystyle P(k) = k(k - 2)(2{k^2} + 5k - 5), κλπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες