ΑΚΤΙΝΙΑ

ΚΟΡΙΝΑ · #1

Γιατί ακτίνια και όχι μοίρες;Ποιό είναι το πλεονέκτημα;
Ευχαριστώ!

#2

ΚΟΡΙΝΑ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2019 9:02 pm
Γιατί ακτίνια και όχι μοίρες;Ποιό είναι το πλεονέκτημα;
Ευχαριστώ!

Στις μικρές τάξεις εργαζόμαστε με μοίρες, που έχουν πλεονεκτήματα γιατί πρώτα απ' όλα στις πρακτικές εφαρμογές έχουμε καλή μονάδα μέτρησης γωνίας (η κλίμακα

έως

είναι αρκετά πυκνή).

Όταν όμως φτάσουμε σε μεγαλύτερη τάξη αλλάζουμε σε ακτίνια. Ο κύριος λόγος είναι γιατί μπαίνουμε στις παραγώγους, και ειδικά παραγώγους τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ο τύπος $(\sin x)' = \cos x$ που έχουμε παράγωγος ισχύει μόνο αν η μεταβλητή δηλώνει το μέγεθος γωνίας σε ακτίνια. Πράγματι, η απόδειξή του βασίζεται στο όριο $\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {\sin x }{x}=1}$ , το οποίο απαιτεί ακτίνια. Αν εργαζόμασταν με μοίρες, οι αντίστοιχοι τύποι θα ήταν

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {\sin x }{x}=\dfrac {\pi}{180} }$ και $(\sin x)' = \dfrac {\pi}{180}\cos x$

που είναι πιο περίπλοκοι. Για να αποφύγουμε επίπονες παραστάσεις, προτιμούμε τα ακτίνια.

Άσκηση σε σένα: Δείξε αυτά που γράφω στην περίπτωση των μοιρών, και επίσης δείξε ότι τότε $(\sin x)'' =- \dfrac {\pi ^2}{32400}\sin x}$ .

ΚΟΡΙΝΑ · #3

Ευχαριστώ πολύ!

#4

Είχα δει ψες βράδυ την ίδια ερώτηση σε κάποιο από τα μαθηματικά group του facebook και έδωσα το ίδιο παράδειγμα με τον Μιχάλη. Βέβαια υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων σε όλη την ανάλυση. Π.χ. αν εργαζόμαστε σε μοίρες και οι σειρές Taylor τριγωνομετρικών αριθμών γίνονται πιο περίπλοκες. Ο γνωστός τύπος $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ επίσης αλλάζει και εμφανίζονται σε αυτόν τα $\pi$ και το 180

.

#5

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 21, 2019 11:55 am
Είχα δει ψες βράδυ την ίδια ερώτηση σε κάποιο από τα μαθηματικά group του facebook και έδωσα το ίδιο παράδειγμα με τον Μιχάλη. Βέβαια υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων σε όλη την ανάλυση. Π.χ. αν εργαζόμαστε σε μοίρες και οι σειρές Taylor τριγωνομετρικών αριθμών γίνονται πιο περίπλοκες. Ο γνωστός τύπος $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ επίσης αλλάζει και εμφανίζονται σε αυτόν τα $\pi$ και το .

Ο Δημήτρης είχε ξαναδεί αυτήν την ερώτηση πριν επτά χρόνια και δεκατέσσερις μέρες και είχε απαντήσει ξανά, αναφέροντας ότι
"Σύμφωνα με τον Morris Kline τα ακτίνια εισήχθησαν από τον Euler στο Introduction in Analysin Infinitorum το 1748."

Δείτε αυτήν την ενδιαφέρουσα συζήτηση ΕΔΩ, καθώς και την παλαιότερη παραπομπή του Αχιλλέα σε αυτήν τη συζήτηση.

ΜΑΤΘΑΙΟΣ ΤΣΙΛΠΙΡΙΔΗΣ · #6

Καλημέρα. Προς επίρρωση των απαντήσεων που έχουν προηγηθεί, παραθέτω και ένα ψηφιακό δόμημα https://www.geogebra.org/m/d5hyuft8, που δίνει και μία εποπτική ερμηνεία όσων ελέχθησαν.
Υ.Γ: Δυστυχώς δεν μπόρεσα να βρω το πρωτότυπο url και το όνομα του δημιουργού του.
Καλημέρα

ΑΚΤΙΝΙΑ

ΑΚΤΙΝΙΑ

Re: ΑΚΤΙΝΙΑ

Re: ΑΚΤΙΝΙΑ

Re: ΑΚΤΙΝΙΑ

Re: ΑΚΤΙΝΙΑ

Re: ΑΚΤΙΝΙΑ

Μέλη σε σύνδεση