Σύστημα

Συντονιστής: stranton

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4224
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Μάιος 21, 2019 11:11 pm

Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{x^2 +z^2 +xy =0}

\displaystyle{y^2 +2zy +2zx =2}

\displaystyle{xy +3(x+y+z) = - 2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 389
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μάιος 21, 2019 11:59 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 11:11 pm
Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{x^2 +z^2 +xy =0}

\displaystyle{y^2 +2zy +2zx =2}

\displaystyle{xy +3(x+y+z) = - 2}
Χριστός Ανέστη!

Προσθέτω τις δοσμένες κατά μέλη και έχουμε :

\left ( x+y+z \right )^2+3(x+y+z)=0


Διακρίνουμε περιπτώσεις :
  • x+y+z=0\Leftrightarrow y=-x-z

    Είναι x^2+z^2+x(-x-z)=z^2-zx=0\Leftrightarrow z=x\,\,\eta \,\,z=0

    Για z=0 είναι y=-x και οι δεύτερη ,τρίτη συναληθεύουν για \left ( x,y \right )=\left ( \sqrt{2} ,-\sqrt{2}\right )

    Άρα λύση η \left ( x,y,z \right )=\left ( \sqrt{2},-\sqrt{2} ,0\right )

    Για z=x είναι y=-2x και εύκολα προκύπτουν οι λύσεις \left ( 1,-2,1 \right ),\left ( -1,2,-1 \right )

  • x+y+z=-3
Είναι y=-3-x-z οπότε η πρώτη γίνεται z^2-3x-xz=0 και η τρίτη x^2+3x+xz=-7
Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη όμως παίρνουμε x^2+z^2=-7 άτοπο!

Άρα λύσεις οι \left ( x,y,z \right )=\left ( \sqrt{2},-\sqrt{2},0 \right ),\left ( 1,-2,1 \right ),\left ( -1,2,-1 \right )

Από απροσεξία δεν είδα και την τέταρτη λύση την  \left( x,y,z \right )=\left ( -\sqrt{2},\sqrt{2},0 \right )
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τετ Μάιος 22, 2019 2:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύστημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 22, 2019 12:21 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 11:11 pm
Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{x^2 +z^2 +xy =0}

\displaystyle{y^2 +2zy +2zx =2}

\displaystyle{xy +3(x+y+z) = - 2}
Προσθέτοντας την πρώτη και δεύτερη παίρνουμε

\displaystyle (x+y+z)^{2}=2+xy

Ετσι η τρίτη γίνεται \displaystyle (x+y+z)^{2}=-3(x+y+z)

Προκύπτει ότι \displaystyle x+y+z=-3\veebar x+y+z=0

Η πρώτη δίνει λόγω της τρίτης xy>0 που το κάνει αδύνατο.

Αρα x+y+z=0 οπότε xy=-2

Η δεύτερη γράφεται y^{2}-2z^{2}=2

και σε συνδιασμό με την πρώτη προκύπτει

2x^{2}+y^{2}=6

Αλλά 2x^{2}y^{2}=8

Αρα τα 2x^{2},y^{2} είναι ρίζες τριωνύμου.

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι 2,4

Ετσι 2x^{2}=2,y^{2}=4\veebar 2x^{2}=4,y^{2}=2

Εστω .2x^{2}=2,y^{2}=4

θα έχουμε λόγω της xy=-2 ότι

x=1,y=-2 \veebar x=-1,y=2

η πρώτη δίνει z=1 ενώ η δεύτερη z=-1

Αρα λύσεις x=1,y=-2 ,z=1\veebar x=-1,y=2,z=-1

Εστω 2x^{2}=4,y^{2}=2

Από την y^{2}-2z^{2}=2 προκύπτει ότι z=0

Ετσι παίρνουμε τις λύσεις x=\sqrt{2},y=-\sqrt{2} ,z=0\veebar x=-\sqrt{2},y=\sqrt{2},z=0

Θα είχε ενδιαφέρον να το λύσουμε στους Μιγαδικούς.

Συμπλήρωμα.
Βλέπω ότι οσο έγραφα ανάρτησε λύση και ο Πρόδρομος και μάλιστα διαφορετική.
Του έχει ξεφύγει μια λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης