Ρίζες και ελάχιστο

KARKAR · #1

$\bigstar$ Για την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^8-48x^4+256}{x^4} , x>0$ .

α) Βρείτε τις ρίζες της ... β) βρείτε την ελάχιστη τιμή της .

Χρησιμοποιήστε αποκλειστικά σχολική ύλη της Α' Τάξης .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 7:10 pm
$\bigstar$ Για την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^8-48x^4+256}{x^4} , x>0$ .

α) Βρείτε τις ρίζες της ... β) βρείτε την ελάχιστη τιμή της .

Χρησιμοποιήστε αποκλειστικά σχολική ύλη της Α' Τάξης .

α)

$f(x)=0\Leftrightarrow x^8-48x^4+256=0\overset{x^4=y}{\Leftrightarrow}y^2-48y+256$

$\Delta =1280\Rightarrow y_{1,2}=\dfrac{48\pm 16\sqrt{5}}{2}=24\pm 8\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{24\pm 8\sqrt{5}}=\sqrt{2\sqrt{5}\pm 2}$

Άρα ρίζες οι $\sqrt{2\sqrt{5}+2},\sqrt{2\sqrt{5}-2},$

β)

$\dfrac{x^8-48x^4+256}{x^4}=\dfrac{x^4-32x^4+256-16x^4}{x^4}=\dfrac{\left ( x^4-16 \right )^2}{x^4}-16$

Όμως $\dfrac{\left ( x^4-16 \right )^2}{x^4}\geq 0$ με την ισότητα για x=2

Άρα

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 7:10 pm

Χρησιμοποιήστε αποκλειστικά σχολική ύλη της Α' Τάξης .

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση για να θυμούνται οι παλιοί και να μαθαίνουν οι νέοι.

Παλιά (πολύ - πολύ παλιά) ήταν στη σχολική ύλη της Άλγεβρας (νομίζω Δ΄ Γυμνασίου) και η εξής μέθοδος:

Είναι $\displaystyle \frac{{{x^8} - 48{x^4} + 256}}{{{x^4}}} = {x^4} + \frac{{256}}{{{x^4}}} - 48$ .

Επειδή οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle {x^4},\frac{{256}}{{{x^4}}}$ έχουν σταθερό γινόμενο και μπορούν να γίνουν ίσοι, αφού για θετικά

, είναι $\displaystyle {x^4} = \frac{{256}}{{{x^4}}} \Leftrightarrow {x^8} = {2^8} \Leftrightarrow x = 2$ .

Τότε για αυτήν την τιμή του

, θα έχουν ελάχιστο άθροισμα.

Οπότε το ελάχιστο της f(x)

είναι $\displaystyle f(2) = \frac{{256 - 48 \cdot 16 + 256}}{{16}} = - 16$ .

edit: Καλά το θυμόμουν. Δείτε π.χ. το πρόγραμμα Πρακτικού Λυκείου (Βαρβακείου), του 1922.

: Πρόγραμμα Βαρβακείου 1922.jpg (72.39 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Πηγή: Δαυίδ Αντωνίου, Τα προγράμματα της Μέσης εκπαίδευσης (1833-1929), 1ος τόμος, Έκδοση Γ.Γ.Ν.Γ. σ. 735.

Ρίζες και ελάχιστο

Ρίζες και ελάχιστο

Re: Ρίζες και ελάχιστο

Re: Ρίζες και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση