Ξερίζωμα

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6728
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ξερίζωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 09, 2019 2:46 am

Δίδεται η εξίσωση : 28{x^2} - 56x + 25 = 0

1. Δείξετε ότι έχει δύο ρίζες {x_1}\,\,,\,\,{x_2} πραγματικές και άνισες.

2. Να υπολογίσετε τη παράσταση: S = \sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1}}  + \sqrt {x_2^2 + 2{x_1} - 2{x_2}}

Μέχρι το τέλος του αγώνα : ΠΑΟΚ-Ολυμπιακός, μόνο για μαθητές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10856
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ξερίζωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 09, 2019 9:05 am

Η λύση που ακολουθεί ίσως εκπλήξει τους μαθητές της Α' , γι' αυτό και την γράφω : Η συνάρτηση γράφεται :

f(x)=28x^2-56x+28-3=28(x-1)^2-3 , συνεπώς έχει κατακόρυφο άξονα συμμετρίας

την ευθεία x=1 και άρα οι ρίζες της είναι της μορφής : x_{1}=1-t και x_{2}=1+t . Επειδή :

f(0)=25 , f(1)=-3 , οι ρίζες βρίσκονται στα διαστήματα (0,1) και (1,2) , δηλαδή : 0<t<1 \bigstar

Αλλά τότε : S=\sqrt{(1-t)^2+2(1+t)-2(1-t)}+\sqrt{(1+t)^2+2(1-t)-2(1+t)}

=\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+1)^2}=|t+1|+|t-1|=t+1+1-t=2 , λόγω της \bigstar .

Είναι βέβαιο ότι ο θεματοδότης αναμένει κι άλλες λύσεις και ... ότι ποντάρω στην επιείκειά του :oops:


Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ξερίζωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλίας Θ. » Σάβ Φεβ 09, 2019 9:49 am

1. \Delta=56^2-4\cdot 28\cdot 25=56(56-2\cdot 25)=56\cdot 6>0 άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές άνεισες
2. Η εξίσωση γράφεται: 28x^2-56x=-25 \Leftrightarrow 28(x^2-2x)=-25 \Leftrightarrow x^2-2x=-\dfrac{25}{28}
Άρα S=\sqrt{2x_2 -\dfrac{25}{28}}+\sqrt{2x_1 -\dfrac{25}{28}} με S≥0.
S^2=2x_2 -\dfrac{25}{28}+2\sqrt{2x_2 -\dfrac{25}{28}}\cdot \sqrt{2x_1 -\dfrac{25}{28}}+2x_2 -\dfrac{25}{28}
Με τύπους του Vieta λαμβάνουμε το αποτέλεσμα με αρκετούτσικες πράξεις ( αυτός ο τρόπος )

Edit: μετά είδα ότι τελικά οι πράξεις δεν είναι τόσες πολλές αφού το άθροισμα των ριζών είναι S'=2 και το γινόμενο τους είναι P'=\dfrac{25}{28}. Συνεχίζω λοιπόν από εκεί που είχα μείνει:
S^2=2S'-\dfrac{50}{28}+2\sqrt{4P'-\dfrac{50}{28}S' +\left( \dfrac{25}{28}\right)^2  }=4-\dfrac{50}{28}+2\dfrac{25}{28}=4
Δηλαδή S=2


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6728
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ξερίζωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 15, 2019 1:06 pm

a) Το τριώνυμο f(x) = 28{x^2} - 56x + 25 = 0 έχει διακρίνουσα:

D = {( - 56)^2} - 4 \cdot 28 \cdot 25 = 4 \cdot {28^2} - 4 \cdot 28 \cdot 25 = 4 \cdot 28(28 - 25) = 4 \cdot 28 \cdot 3 > 0 ,

συνεπώς η εξίσωση έχει δύο ρίζες {x_1}\,\,,\,\,{x_2} πραγματικές και άνισες.

b) Από τους τύπους του Vieta έχω: \left\{ \begin{gathered} 
	  {x_1} + {x_2} = 2 \hfill \\ 
	  {x_1}{x_2} = \frac{{25}}{{28}} > 0 \hfill \\  
	\end{gathered}  \right. . Η δεύτερη μας εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι ομόσημες και λόγω της πρώτης είναι και θετικές .

Έτσι από την πρώτη έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  {x_1} = 2 - {x_2} > 0 \hfill \\ 
  {x_2} = 2 - {x_1} > 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  0 < {x_1} < 2 \hfill \\ 
  0 < {x_2} < 2 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Επειδή: x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1} = x_1^2 + 2(2 - {x_1}) - 2{x_1} = x_1^2 + 4 - 4{x_1} = {\left( {{x_1} - 2} \right)^2} θα είναι :

\sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1}}  = \sqrt {{{({x_1} - 2)}^2}}  = |{x_1} - 2| = 2 - {x_1} και όμοια :

\sqrt {x_2^2 + 2{x_1} - 2{x_2}}  = \sqrt {{{({x_2} - 2)}^2}}  = |{x_2} - 2| = 2 - {x_2} προκύπτει :

S = 2 - {x_1} + 2 - {x_2} = 4 - ({x_1} + {x_2}) = 4 - 2 = 2


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 1 επισκέπτης