Ακέραιοι αριθμοί

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ακέραιοι αριθμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm

Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2756
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Αύγ 01, 2018 2:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.
Θέτουμε

n=\alpha+\beta=f(1)-f(0) και m=4\alpha+2\beta=f(2)-f(0).

Από την υπόθεση οι n,m είναι ακέραιοι. Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε

a=\dfrac{m}{2}-n και b=2n-\frac{m}{2}.

Έτσι, o

f(2010)=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)2010^2+\left(2n-\frac{m}{2}\right)2010+\gamma=(1005m-2010n)2010+4020n-1005m+f(0)

αλλά και ο

f(2011)=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)2011^2+\left(2n-\frac{m}{2}\right)2011+\gamma=2011\cdot 1005m -2011^2n+4022n+f(0)

είναι ακέραιοι.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 01, 2018 3:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.
Ας δείξουμε (αλλά εκτός ύλης της Α' Λυκείου) ότι όλα τα f(N) είναι ακέραιοι, για N φυσικό.

Εργαζόμαστε επαγωγικά. Για το επαγωγικό βήμα

f(N+1) = a(N+1)^2+b(N+1)+c = (aN^2+bN+c)+2aN + (a+b)=

=f(N) + (f(2)-2f(1)+f(0) )N + (f(1)-f(0))= άθροισμα ακεραίων.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Αύγ 02, 2018 11:30 am

Μιχάλη,

χάνω κάτι ; Δε βλέπω γιατί το f(N) είναι ακέραιος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 02, 2018 12:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 11:30 am
Μιχάλη,

χάνω κάτι ; Δε βλέπω γιατί το f(N) είναι ακέραιος.
Τόλη, το f(N)= ακέραιος είναι η επαγωγική υπόθεση.

Η απόδειξη που έγραψα παραπάνω δεν είναι πλήρης αλλά μόνο η ουσία. Συγκεκριμένα είναι
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 3:43 pm
... Για το επαγωγικό βήμα ...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 02, 2018 2:20 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.
Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί \displaystyle \gamma ,\alpha  + \beta  + \gamma ,4\alpha  + 2\beta  + \gamma είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι \displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma είναι ακέραιοι, οπότε \displaystyle f(k) ακέραιος για κάθε k\in N


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3230
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 02, 2018 2:33 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:20 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.
Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί \displaystyle \gamma ,\alpha  + \beta  + \gamma ,4\alpha  + 2\beta  + \gamma είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι \displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma είναι ακέραιοι, οπότε \displaystyle f(k) ακέραιος για κάθε k\in N
Όχι Γιώργο.

Πάρε \alpha =\beta =\frac{1}{2} ,\gamma =6


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 02, 2018 3:07 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:33 pm
george visvikis έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 2:20 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 1:22 pm
Έστω f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma όπου \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Υποθέτουμε ότι οι f(0), f(1), f(2) είναι ακέραιοι.
  1. Δείξατε ότι ο f(2010) είναι επίσης ακέραιος.
  2. Εξετάσατε αν ο f(2011) είναι ακέραιος.
Από την υπόθεση προκύπτει ότι οι αριθμοί \displaystyle \gamma ,\alpha  + \beta  + \gamma ,4\alpha  + 2\beta  + \gamma είναι

ακέραιοι και στη συνέχεια ότι \displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma είναι ακέραιοι, οπότε \displaystyle f(k) ακέραιος για κάθε k\in N
Όχι Γιώργο.

Πάρε \alpha =\beta =\frac{1}{2} ,\gamma =6
Σωστά!

Στους υπολογισμούς μου, το λάθος έγινε σε μία αφαίρεση: \displaystyle (3\alpha  + \beta ) - (\alpha  + \beta ) = 2\alpha ακέραιος
και ξέχασα τον συντελεστή 2 :oops:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3230
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακέραιοι αριθμοί

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 02, 2018 4:43 pm

Ας δούμε μια λύση με ύλη Γυμνασίου αλλά με ακροβατικό.

Γράφουμε f(x)=ax^{2}+bx+c=ax^{2}-ax+(b+a)x+c=ax(x-1)+dx+c

Από f(0) ακέραιος προκύπτει c ακέραιος.

Από f(1) ακέραιος και το προηγούμενο προκύπτει d ακέραιος.

Από f(2) ακέραιος και τα προηγούμενα προκύπτει 2a ακέραιος.

Εστω n\in \mathbb{Z}

Είναι f(n)=an(n-1)+dn+c που είναι ακέραιος γιατί αφού κάποιος από

τους n,n-1 είναι ζυγός θα έχουμε n(n-1)=2k με k ακέραιο οπότε

f(n)=2ak+dn+c


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης