Άθροισμα εμβαδών

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Άθροισμα εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm

Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Συνημμένα
rectangle.png
rectangle.png (7.39 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 321
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Άθροισμα εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Ιουν 15, 2018 5:15 pm

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Άθροισμα εμβαδών.png
Άθροισμα εμβαδών.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές
.

E_1=E_2 (AEKZ τετράγωνο) άρα E_2+E_3 ελάχιστο όταν το ορθογώνιο τρίγωνο E_4 έχει μέγιστο εμβαδόν,

που συμβαίνει όταν x=a-x δηλαδή όταν το K είναι μέσο του A \Gamma.
τελευταία επεξεργασία από nikkru σε Σάβ Ιουν 16, 2018 11:53 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άθροισμα εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 pm

Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3108
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα εμβαδών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιουν 16, 2018 10:50 am

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
shape.png
shape.png (12.31 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές
Από \Gamma {\rm K}{\rm B}\mathop  = \limits^{\Pi  - \Gamma  - \Pi } \Gamma {\rm K}\Delta  \Rightarrow (\Gamma {\rm K}{\rm B}) = (\Gamma {\rm K}\Delta )

Έστω x η πλευρά του τετραγώνου και y = KE = AE, με 0 \le y \le x

Θέτω τη συνάρτηση εμβαδού E = \dfrac{{x(x - y)}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = \dfrac{{{y^2} - xy + {x^2}}}{2}, η οποία είναι παραβολή (ως προς y) και παρουσιάζει ελάχιστο για y = \dfrac{{ - \beta }}{{2a}} = \dfrac{x}{2}, δηλαδή όταν K \equiv O


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα εμβαδών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 16, 2018 12:44 pm

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Άθροισμα εμβαδών.K.png
Άθροισμα εμβαδών.K.png (7.87 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{(A\Delta \Gamma )}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}},\frac{{{E_2}}}{{(AB\Gamma )}} = \frac{{a - x}}{a} \Rightarrow \frac{{{E_1} + {E_2}}}{{(AB\Gamma \Delta )/2}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow \boxed{{E_1} + {E_2} = \frac{{{x^2} - ax + {a^2}}}{2}} που ως τριώνυμο

παρουσιάζει ελάχιστο για \boxed{x=\dfrac{a}{2}}, δηλαδή το K είναι το κέντρο του τετραγώνου και το ελάχιστο άθροισμα εμβαδών \boxed{ - \frac{\Delta }{8} = \frac{{3{a^2}}}{8}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα εμβαδών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 16, 2018 3:19 pm

Αθροισμα εμβαδών.png
Αθροισμα εμβαδών.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Ουσιαστικά απ ότι βλέπω πρόκειται για τη πρώτη λύση (ίσως και κακέκτυπό της ) αλλά την αφήνω για τον κόπο .


Η κάθετη από το K προς την AB την τέμνει στο T και την CD στο S.

Αν AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS = y, προφανώς \boxed{\boxed{x + y = a}} ( * ) ( σταθερή πλευρά τετραγώνου).

Επίσης (AEK) + (BCK) = (AKT) + (STB) = (ASB) - (ASK)\,\,(1)

Αλλά το (ASB) είναι σταθερό και ίσο με το μισό εμβαδόν του τετραγώνου , οπότε

για την ζητούμενη ελαχιστοποίηση αρκεί να γίνει μέγιστο το (ASK) που λόγω της

( * ) αυτό θα συμβεί εφ’ όσον : \boxed{x = y} δηλαδή το K γίνει μέσο της διαγωνίου AC.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 321
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Άθροισμα εμβαδών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιουν 16, 2018 7:15 pm

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 pm
Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.
Άθροισμα εμβαδών_2.png
Άθροισμα εμβαδών_2.png (14.04 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Με Γεωμετρία (μάλλον Β΄τάξης).

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AB που τέμνει την A \Gamma στο (μέσο της) O.

Αν N το σημείο που η ZK τέμνει το ημικύκλιο, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ANB είναι ZA \cdot ZB=ZN^2.

Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου KBZ γίνεται μέγιστο, όταν το ZN γίνεται μέγιστο, όταν ZN=r=\frac{a}{2} δηλαδή όταν το N συμπέσει με το μέσο O του A \Gamma.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άθροισμα εμβαδών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 16, 2018 7:28 pm

nikkru έγραψε:
Σάβ Ιουν 16, 2018 7:15 pm
exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 pm
Θεωρώ ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με Γεωμετρία της ίδιας τάξης.
Άθροισμα εμβαδών_2.png
Με Γεωμετρία (μάλλον Β΄τάξης).

Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου AB που τέμνει την A \Gamma στο (μέσο της) O.

Αν N το σημείο που η ZK τέμνει το ημικύκλιο, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ANB είναι ZA \cdot ZB=ZN^2.

Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου KBZ γίνεται μέγιστο, όταν το ZN γίνεται μέγιστο, όταν ZN=r=\frac{a}{2} δηλαδή όταν το N συμπέσει με το μέσο O του A \Gamma.
Ωραία λύση.
Η δική μου είναι διαφορετική.
Μάλιστα δεν χρησιμοποιώ μεγιστοποίηση.
Αν δεν με προλάβουν θα την γράψω αύριο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα εμβαδών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 16, 2018 8:30 pm

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Άθροισμα εμβαδών.K1.png
Άθροισμα εμβαδών.K1.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
\displaystyle {E_1} + {E_2} = \frac{1}{2}\left( {(AEKN) + (KNBZ) + (KZ\Gamma M} \right) και ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το EKM\Delta.

Αυτό όμως θα συμβεί όταν γίνει τετράγωνο (έχει σταθερή περίμετρο), δηλαδή όταν το K συμπέσει με το κέντρο του AB\Gamma\Delta.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άθροισμα εμβαδών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιουν 16, 2018 11:21 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 16, 2018 8:30 pm
exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;
Άθροισμα εμβαδών.K1.png
\displaystyle {E_1} + {E_2} = \frac{1}{2}\left( {(AEKN) + (KNBZ) + (KZ\Gamma M} \right) και ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το EKM\Delta.

Αυτό όμως θα συμβεί όταν γίνει τετράγωνο (έχει σταθερή περίμετρο), δηλαδή όταν το K συμπέσει με το κέντρο του AB\Gamma\Delta.
Γεια σου Γιώργο.Περίπου αυτή την λύση είχα στο μυαλό μου.

Απλά την πήγα μέχρι το τέλος Γεωμετρικά.

Δηλαδή αν O το κέντρο του τετραγώνου ,Tτο μέσο της \Delta \Gamma,

S το μέσο της \Delta A και Q η τομή της SO με την MN

τότε η διαφορά των MKEAB \Gamma M με TOSAB  \Gamma T είναι το τρίγωνο

OQK.

Ετσι έχουμε ελαχιστοποίηση όταν το τρίγωνο γίνει σημείο.

Δηλαδή K\equiv O


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1414
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Άθροισμα εμβαδών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 17, 2018 12:37 am

exdx έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 4:13 pm
Το \displaystyle K βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και \displaystyle KE \bot A\Delta .
Ποια θέση του \displaystyle K ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ;

\displaystyle 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) = {x^2} + a\left( {a - x} \right) = \frac{{2{x^2} - 2ax + 2{a^2}}}{2} = \frac{{{x^2} + {{(a - x)}^2} + {a^2}}}{2}

Άρα,\displaystyle {{S_1} + {S_2} = \min } όταν \displaystyle {{x^2} + {{(a - x)}^2} = \min }

Αλλά \displaystyle K{B^2} = {x^2} + {(a - x)^2}κι επομένως \displaystyle {{S_1} + {S_2} = \min }

όταν \displaystyle KB = \min δηλαδή όταν \displaystyle KB \bot AC δηλ. όταν \displaystyle KB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

Τότε \displaystyle K{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} = {x^2} + {(a - x)^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{a}{2}}
a.e.png
a.e.png (6.03 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης