Παραμετρική

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου

μια από τις ρίζες της εξίσωσης

(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 = 0

είναι μεγαλύτερη του

και η άλλη μικρότερη του

.

#2

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση στην άσκηση του Αλέξανδρου.

Πρέπει $\displaystyle D > 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)$ (1).

Για τα

που επαληθεύουν την (1) πρέπει

$\displaystyle \frac{{1 - 2a + \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} + a + 1} \right)}} > 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} > 4{a^2} + 6a + 3$ (2)

και $\displaystyle \frac{{1 - 2a - \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} + a + 1} \right)}} < 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} > - \left( {4{a^2} + 6a + 3} \right)$ (3)

Η (3) ισχύει για κάθε

που ικανοποιεί την (1), αφού $\displaystyle \forall a \in R,\;\;\; - 4{a^2} - 6a - 3 < 0$ .

Είναι $\displaystyle 4{a^2} + 6a + 3 \ge \frac{3}{4}$ , οπότε κάθε

που ικανοποιεί τη (2), θα ικανοποιεί και την (1).

(2): $\displaystyle \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} > 4{a^2} + 6a + 3 \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) > {\left( {4{a^2} + 6a + 3} \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} - {\left( {4{a^2} + 6a + 3} \right)^2} > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow - 8\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {2{a^2} + 4a + 1} \right) > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5{a^2} + 8a + 2 < 0$ , που ισχύει για $\displaystyle \frac{{ - 4 - \sqrt 6 }}{5} < a < \frac{{ - 4 + \sqrt 6 }}{5}$ .

Al.Koutsouridis · #3

Να ευχαριστήσω τον κ.Ρίζο για την λύση της άσκησης.

Το πρόβλημα αυτό κάθε αυτό είναι από τα παραδείγματα όπου εξετάζεται η γεωμετρική εγρήγορση του μαθητή.

Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της y(x)=(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2

είναι παραβολή με τα κοίλα προς τα πάνω,
αφού ο συντελεστής του x^2

είναι

για κάθε

. Από την συνθήκη του προβλήματος το διάστημα $[r_{1}, r_{2}]$ που ορίζουν οι ρίζες θα πρέπει να περιέχει το

. Ισοδύναμα η τιμή στο

να είναι αρνητική

$y(2) < 0 \Leftrightarrow 5a^2+8a+2 < 0$

: parametrikh.png (6.32 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 18, 2018 10:18 am
Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου μια από τις ρίζες της εξίσωσης

είναι μεγαλύτερη του και η άλλη μικρότερη του .

Αλλιώς(δεν ξέρω αν είναι στην ύλη της Α Λυκείου)

Είναι $a^{2}+a+1=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$

Αν για x=2

το τριώνυμο είναι αρνητικό τότε θα έχει πραγματικές ρίζες και το

θα είναι μεταξύ

των ριζών οπότε ικανοποιείται η συνθήκη που θέλουμε.

Ισχύει και το αντίστροφο.

Αρα το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες μια μεγαλύτερη του

και μία μικρότερη

αν και μόνο αν $4(a^{2}+a+1)+2(2a-1)+a^{2}< 0$

δηλαδή $5a^{2}+8a+2< 0$

προκύπτει ότι $\dfrac{-4-\sqrt{6}}{5}< a< \dfrac{-4+\sqrt{6}}{5}$

Παραμετρική

Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Re: Παραμετρική

Μέλη σε σύνδεση