Παραμετρική

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Απρ 18, 2018 10:18 am

Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου a μια από τις ρίζες της εξίσωσης

(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 = 0

είναι μεγαλύτερη του 2 και η άλλη μικρότερη του 2.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Παραμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Απρ 19, 2018 10:11 pm

Καλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια προσέγγιση στην άσκηση του Αλέξανδρου.

Πρέπει  \displaystyle D > 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) (1).

Για τα a που επαληθεύουν την (1) πρέπει

 \displaystyle \frac{{1 - 2a + \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} + a + 1} \right)}} > 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)}  > 4{a^2} + 6a + 3 (2)

και  \displaystyle \frac{{1 - 2a - \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} + a + 1} \right)}} < 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)}  >  - \left( {4{a^2} + 6a + 3} \right) (3)

Η (3) ισχύει για κάθε a που ικανοποιεί την (1), αφού  \displaystyle \forall a \in R,\;\;\; - 4{a^2} - 6a - 3 < 0 .

Είναι  \displaystyle 4{a^2} + 6a + 3 \ge \frac{3}{4} , οπότε κάθε a που ικανοποιεί τη (2), θα ικανοποιεί και την (1).

(2):  \displaystyle \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)}  > 4{a^2} + 6a + 3 \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} - 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) > {\left( {4{a^2} + 6a + 3} \right)^2}

 \displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {2a - 1} \right)^2} - {\left( {4{a^2} + 6a + 3} \right)^2} > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow  - 8\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {2{a^2} + 4a + 1} \right) > 4{a^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow 5{a^2} + 8a + 2 < 0 , που ισχύει για  \displaystyle \frac{{ - 4 - \sqrt 6 }}{5} < a < \frac{{ - 4 + \sqrt 6 }}{5} .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1062
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Απρ 19, 2018 11:21 pm

Να ευχαριστήσω τον κ.Ρίζο για την λύση της άσκησης.

Το πρόβλημα αυτό κάθε αυτό είναι από τα παραδείγματα όπου εξετάζεται η γεωμετρική εγρήγορση του μαθητή.

Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της y(x)=(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 είναι παραβολή με τα κοίλα προς τα πάνω,
αφού ο συντελεστής του x^2 είναι a^2+a+1 > 0 για κάθε a. Από την συνθήκη του προβλήματος το διάστημα [r_{1}, r_{2}] που ορίζουν οι ρίζες θα πρέπει να περιέχει το 2. Ισοδύναμα η τιμή στο 2 να είναι αρνητική

y(2) < 0 \Leftrightarrow  5a^2+8a+2 < 0

parametrikh.png
parametrikh.png (6.32 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 19, 2018 11:32 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Απρ 18, 2018 10:18 am
Να βρείτε για ποιές τιμές της παραμέτρου a μια από τις ρίζες της εξίσωσης

(a^2+a+1)x^2 + (2a-1)x+a^2 = 0

είναι μεγαλύτερη του 2 και η άλλη μικρότερη του 2.
Αλλιώς(δεν ξέρω αν είναι στην ύλη της Α Λυκείου)

Είναι a^{2}+a+1=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0

Αν για x=2 το τριώνυμο είναι αρνητικό τότε θα έχει πραγματικές ρίζες και το 2 θα είναι μεταξύ

των ριζών οπότε ικανοποιείται η συνθήκη που θέλουμε.

Ισχύει και το αντίστροφο.

Αρα το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες μια μεγαλύτερη του 2 και μία μικρότερη

αν και μόνο αν 4(a^{2}+a+1)+2(2a-1)+a^{2}< 0

δηλαδή 5a^{2}+8a+2< 0

προκύπτει ότι \dfrac{-4-\sqrt{6}}{5}< a< \dfrac{-4+\sqrt{6}}{5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης