Ακέραιος

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ακέραιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm

Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω \alpha>-\frac{3}{4} πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ακέραιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Μαρ 28, 2018 8:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm
Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω \alpha>-\frac{3}{4} πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.
Καλησπέρα,

Μήπως έχει κάποιον επιπλέον περιορσιμό για το \alpha, όπως ότι a\leq 0;

Για παράδειγμα, για a=1 και a=2, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, παίρνουμε μιγαδική τιμή.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ακέραιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 28, 2018 8:28 pm

achilleas έγραψε:
Τετ Μαρ 28, 2018 8:05 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm
Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω \alpha>-\frac{3}{4} πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.
Καλησπέρα,

Μήπως έχει κάποιον επιπλέον περιορσιμό για το \alpha, όπως ότι a\leq 0;

Για παράδειγμα, για a=1 και a=2, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, παίρνουμε μιγαδική τιμή.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Αχιλλέα εμένα μου βγαίνει.Απλά κάπου χρησιμοποιώ τρίτη ρίζα αρνητικού.

Δηλαδή \sqrt[3]{-a^{3}}=-a


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 469
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Ακέραιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Μαρ 29, 2018 1:49 am

Η άσκηση αυτή είναι ππλύ ωραία. Λύνεται και υψώνοντας και τα 2 μέλη στην τρίτη αλλά χαλάει την ομορφιά της, αλλά και με μια πολύ ωραία ιδιότητα που δεν θα αποκαλύψω για να μην χαλάσω τη μαγεία της!!! Ας προσπαθήσουν οι μικροί μας φίλοι!!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9672
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακέραιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 29, 2018 10:19 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 28, 2018 3:41 pm
Πιο πολύ κάνει για διαγωνιστικά μαθηματικά αλλά δε μπορούσα να αποφασίσω το κατάλληλο φάκελο οπότε τη βάζω εδώ.

Έστω \alpha>-\frac{3}{4} πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} }
είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.
Η παράσταση ορίζεται για \displaystyle a \in \left( { - \frac{3}{4},0} \right]. Θέτω x=\sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}+\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}} και y=\sqrt[3]{\frac{\alpha+1}{2}-\frac{\alpha+3}{6}\sqrt{\frac{4\alpha+3}{3}}}

Θα χρησιμοποιήσω την ταυτότητα \displaystyle {x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y)

\displaystyle a + 1 = {A^3} - 3\left( { - \frac{a}{3}} \right)A \Leftrightarrow {A^3} + aA - a - 1 = 0 \Leftrightarrow (A - 1)({A^2} + A + a + 1) = 0

απ' όπου παίρνω \boxed{A=1} Η δεύτερη παρένθεση λόγω των περιορισμών δεν έχει πραγματικές ρίζες.


ΥΓ. Η παράσταση ορίζεται για \displaystyle a =  - \frac{3}{4}, αλλά αφού ο θεματοδότης όρισε \displaystyle a >  - \frac{3}{4}, το άφησα έτσι.


panagiotis iliopoulos

Re: Ακέραιος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Παρ Μαρ 30, 2018 6:52 pm

Θα χρησιμοποιήσω ταυτότητα Euler. Τα φέρνω όλα μπροστά και έχω άθροισμα τριών αριθμών ίσο με μηδέν.
A+\left ( -\sqrt[3]{\frac{a+1}{2}+\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} \right )+\left ( -\sqrt[3]{\frac{a+1}{2}-\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} \right )=0
Συνεπώς το άθροισμα των κύβων τους θα ισούται με το τριπλάσιο γινόμενό τους.
Ύστερα από πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση A^{^{3}}+Aa-a-1=0\Leftrightarrow (A-1)(A^{^{2}}+A+1)+a(A-1)=0\Leftrightarrow (A-1)(A^{2}+A+a+1)=0
Οπότε A=1 ή A^{2}+A+(a+1)=0 ,τριώνυμο ως προς A με διακρίνουσα -4a-3< 0 αφού a> -\frac{3}{4} .
Άρα η μόνη λύση είναι A=1
που είναι ακέραιος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης