Ανισότητα

orestisgotsis · #1

Περιττό

Tolaso J Kos · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 25, 2018 3:40 pm
Αν πλευρές τριγώνου, να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει: ${{b}^{2}}{{x}^{2}}+({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})x+{{c}^{2}}>0$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. Πράγματι, είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \Delta &= \left ( b^2+c^2-a^2 \right )^2 -4 b^2 c^2 \\ &= \left ( b^2+c^2-a^2-2bc \right ) \left ( b^2+c^2-a^2+2bc \right )\\ &= \left [ \left ( b-c \right )^2 -a^2 \right ]\left [ \left ( b+c \right )^2-a^2 \right ]\\ &=\left [ \underbrace{\left ( b-c-a \right )}_{<0} \cdot \underbrace{\left ( b-c+a \right )}_{>0} \right ] \cdot \left [\underbrace{ \left ( b+c-a \right )}_{>0} \cdot \underbrace{\left ( b+c+a \right )}_{>0} \right ] \\ &<0 \end{aligned}}$ λόγω της τριγωνικής ανισότητας.

Πολλή ωραία άσκηση. Θα τη κάνω αύριο στα παιδιά.

#3

Και πιο απλά:

$\displaystyle{b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=b^2x^2+2bc\cos A x+c^2(\sin ^2A+\cos ^2 A)=(bx+c\cos A)^2+(c\sin A)^2>0.}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση