Κι άλλα ριζικά

#1

Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2y}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = 5\sqrt 6 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.$

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 30, 2018 12:15 pm
Να λυθεί το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2y}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = 5\sqrt 6 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.$

Επειδή
$\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} =\sqrt{2-\sqrt{3}}$
η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γίνεται
$2x\sqrt{2-\sqrt{3}} +\frac{2y}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=5\sqrt{6}+3\sqrt{2}$
και με απαλοιφή έχουμε ότι
$2(2-\sqrt{3}) x +2y=(5\sqrt{6}+3\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{3} } \quad \quad (1)$
Αλλά
$(5\sqrt{6}+3\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{3}}=5\sqrt{12-6\sqrt{3}} +3 \sqrt{4-2\sqrt{3}} =12- 2\sqrt {3}$

γιατί ${12-6\sqrt{3} = (3-\sqrt{3})^2$ και $4-2\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2$

οπότε η (1) γίνεται

$2(2-\sqrt{3}) x +2y= 12- 2\sqrt {3} \Leftrightarrow (2-\sqrt{3}) x +y= 6- \sqrt {3}$

Οπότε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων
x+y = 5

και
$(2-\sqrt{3}) x +y= 6- \sqrt {3}$

Αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι x=1

και στη συνέχεια ότι y=4

.

Μπορεί να υπάρχει και απλούστερη λύση.

Κι άλλα ριζικά

Κι άλλα ριζικά

Re: Κι άλλα ριζικά

Μέλη σε σύνδεση