Κι άλλα ριζικά

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8434
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κι άλλα ριζικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 30, 2018 12:15 pm

Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x + y = 5\\ 
\dfrac{{2x}}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2y}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = 5\sqrt 6  + 3\sqrt 2  
\end{array} \right.



Λέξεις Κλειδιά:
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 287
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Κι άλλα ριζικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Σάβ Φεβ 03, 2018 1:16 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 30, 2018 12:15 pm
Να λυθεί το σύστημα: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x + y = 5\\ 
\dfrac{{2x}}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2y}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = 5\sqrt 6  + 3\sqrt 2  
\end{array} \right.
Επειδή
 \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} =\sqrt{2-\sqrt{3}}
η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γίνεται
2x\sqrt{2-\sqrt{3}}  +\frac{2y}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=5\sqrt{6}+3\sqrt{2}
και με απαλοιφή έχουμε ότι
2(2-\sqrt{3}) x +2y=(5\sqrt{6}+3\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{3} }  \quad \quad (1)
Αλλά
 
(5\sqrt{6}+3\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{3}}=5\sqrt{12-6\sqrt{3}} +3 \sqrt{4-2\sqrt{3}} =12- 2\sqrt {3}

γιατί {12-6\sqrt{3} = (3-\sqrt{3})^2 και 4-2\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2

οπότε η (1) γίνεται

2(2-\sqrt{3}) x +2y=  12- 2\sqrt {3}  \Leftrightarrow (2-\sqrt{3}) x +y=  6- \sqrt {3}

Οπότε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων
 x+y = 5
και
(2-\sqrt{3}) x +y=  6- \sqrt {3}

Αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι  x=1 και στη συνέχεια ότι y=4.

Μπορεί να υπάρχει και απλούστερη λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης