ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω την άσκηση 155 από τις Γενικές Ασκήσεις του βιβλίου '' ΑΛΓΕΒΡΑ 2 '' του Βάσου Σαββαϊδη.
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για ένα έξυπνο θέμα , μπορεί εκεί να βρει αρκετά...

Η δευτεροβάθμια εξίσωση $ax^{2}+bx+c=0$ έχει πραγματικούς συντελεστές και επί πλέον τους a,b

ρητούς και το

άρρητο.
Αποδείξτε ότι οι ρίζες της ή θα είναι μιγαδικές ή θα είναι άνισοι άρρητοι αριθμοί.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 12:49 pm
Σας προτείνω την άσκηση 155 από τις Γενικές Ασκήσεις του βιβλίου '' ΑΛΓΕΒΡΑ 2 '' του Βάσου Σαββαϊδη.
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για ένα έξυπνο θέμα , μπορεί εκεί να βρει αρκετά...

Η δευτεροβάθμια εξίσωση $ax^{2}+bx+c=0$ έχει πραγματικούς συντελεστές και επί πλέον τους ρητούς και το άρρητο.
Αποδείξτε ότι οι ρίζες της ή θα είναι μιγαδικές ή θα είναι άνισοι άρρητοι αριθμοί.

Αν

τελειώσαμε. Αλλιώς, παρατηρούμε ότι ισχύει $\sqrt D$ άρρητος γιατί αν ήταν ρητός θα είχαμε $\displaystyle{ \sqrt {b^2-4ac} = p \in \mathbb Q} \, (*)$ τότε
$\displaystyle{c= \frac{ b^2-p^2 }{4a}\in \mathbb Q$ , άτοπο. Ειδικά έπεται $p\ne 0$ (που είναι ρητός), οπότε οι ρίζες είναι άνισες. Επίσης, εύκολα τώρα βλέπουμε από την (*)

ότι για τις ρίζες είναι

$\displaystyle{\frac { -b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a} \notin \mathbb Q}$ .

#3

Γεια σας και χρόνια πολλά. Το άθροισμα των ριζών (στο $\mathbb{C}$ ) της εξίσωσης είναι ρητός και το γινόμενο άρρητος. Αφού το γινόμενο είναι άρρητος μία τουλάχιστον δεν ανήκει στους ρητούς. Αφού το άθροισμα είναι ρητός και η άλλη δεν ανήκει στους ρητούς, Άρα πρόκειται για αριθμούς που δεν είναι ρητοί και αναγκαστικά είναι άνισοι.
Χρησιμοποιήθηκαν έμμεσα ότι το άθροισμα, η διαφορά , το γινόμενο και το πηλίκο ρητών είναι ρητός.

ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

Re: ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

Re: ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

Μέλη σε σύνδεση