ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

Συντονιστής: stranton

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 943
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τετ Δεκ 27, 2017 12:49 pm

Σας προτείνω την άσκηση 155 από τις Γενικές Ασκήσεις του βιβλίου '' ΑΛΓΕΒΡΑ 2 '' του Βάσου Σαββαϊδη.
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για ένα έξυπνο θέμα , μπορεί εκεί να βρει αρκετά..
.

Η δευτεροβάθμια εξίσωση ax^{2}+bx+c=0 έχει πραγματικούς συντελεστές και επί πλέον τους a,b ρητούς και το c άρρητο.
Αποδείξτε ότι οι ρίζες της ή θα είναι μιγαδικές ή θα είναι άνισοι άρρητοι αριθμοί.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 27, 2017 1:11 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 27, 2017 12:49 pm
Σας προτείνω την άσκηση 155 από τις Γενικές Ασκήσεις του βιβλίου '' ΑΛΓΕΒΡΑ 2 '' του Βάσου Σαββαϊδη.
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για ένα έξυπνο θέμα , μπορεί εκεί να βρει αρκετά..
.

Η δευτεροβάθμια εξίσωση ax^{2}+bx+c=0 έχει πραγματικούς συντελεστές και επί πλέον τους a,b ρητούς και το c άρρητο.
Αποδείξτε ότι οι ρίζες της ή θα είναι μιγαδικές ή θα είναι άνισοι άρρητοι αριθμοί.
Αν D<0 τελειώσαμε. Αλλιώς, παρατηρούμε ότι ισχύει \sqrt D άρρητος γιατί αν ήταν ρητός θα είχαμε \displaystyle{ \sqrt {b^2-4ac} = p \in \mathbb Q} \, (*) τότε
\displaystyle{c= \frac{ b^2-p^2 }{4a}\in \mathbb Q, άτοπο. Ειδικά έπεται p\ne 0 (που είναι ρητός), οπότε οι ρίζες είναι άνισες. Επίσης, εύκολα τώρα βλέπουμε από την (*) ότι για τις ρίζες είναι

\displaystyle{\frac { -b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}  \notin \mathbb Q}.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4258
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΤΟΥ ΣΑΒΒΑΪΔΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Δεκ 27, 2017 1:19 pm

Γεια σας και χρόνια πολλά. Το άθροισμα των ριζών (στο \mathbb{C}) της εξίσωσης είναι ρητός και το γινόμενο άρρητος. Αφού το γινόμενο είναι άρρητος μία τουλάχιστον δεν ανήκει στους ρητούς. Αφού το άθροισμα είναι ρητός και η άλλη δεν ανήκει στους ρητούς, Άρα πρόκειται για αριθμούς που δεν είναι ρητοί και αναγκαστικά είναι άνισοι.
Χρησιμοποιήθηκαν έμμεσα ότι το άθροισμα, η διαφορά , το γινόμενο και το πηλίκο ρητών είναι ρητός.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης