Ανισότητα

Συντονιστής: stranton

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Ιούλ 29, 2017 4:31 pm

Αν a,b,c,d\in (0,+\infty) με a\geq b και c\geq d να αποδείξετε ότι

\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Ιούλ 29, 2017 5:56 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν a,b,c,d\in (0,+\infty) με a\geq b και c\geq d να αποδείξετε ότι

\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}
Μια προσπάθεια :)

Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε:

ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)}. Από την εκφώνηση έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι θετικό όποτε υψώσουμε ξανά στο τετράγωνο θα καταλήξουμε στην γνωστή (ad-bc)^2\geq 0 που ισχύει. Η ισότητα αν ad=bc.



ΥΓ. Παρέλειψα τις πράξεις, αν και δεν ειναι πολλές. Ελπίζω να μην εχω κανει σοβαρό λαθος!


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Ιούλ 29, 2017 7:48 pm

Εναλλακτικά δεν χρειάζεται η δεύτερη ύψωση στο τετράγωνο. Στην πρώτη ανισότητα του Χάρη εφαρμόζουμε Cauchy-Schwarz.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 29, 2017 8:15 pm

Μία γεωμετρική ερμηνεία στην περίπτωση της ισότητας.
Ανισότητα...png
Ανισότητα...png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1252
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Ιούλ 29, 2017 8:27 pm

Προκύπτει άμεσα αν χρησιμοποιήσουμε "πονηρά" την Cauchy-Schwarz

(a+c)^2-(b+d)^2=((a-b)+(c-d))((a+b)+(c+d))\geq \left(\sqrt{(a-b)(a+b)}+\sqrt{(c-d)(c+d)}\right)^2


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης