mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 29, 2012 2:38 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 29, 2012 11:04 pm**

1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν x<1

τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=-x+1-x+2=3-2x}$ ,
* Αν $1 \leq x\leq 2$ τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=x-1-x+2=1}$ ,
* Αν x>2

τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3}$ .

Συνεπώς βρήκαμε ότι:

$\displaystyle{|x-1|+|x-2|=\begin{cases} 3-2x & \text{ if } x <1 \\ 1 & \text{ if } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x-3 & \text{ if } x>2 \end{cases}}$ .

Τώρα είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι $|x-1|+|x-2| \geq 1$ .

* Αν x<1

έχουμε $2x < 2 \Leftrightarrow -2x>-2 \Leftrightarrow 3-2x>1$ , άρα |x-1|+|x-2|>1

,
* Αν $1 \leq x\leq 2$ έχουμε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=1}$ ,
* Αν x>2

έχουμε $2x>4 \Leftrightarrow 2x -3>1$ , άρα $\displaystyle{|x-1|+|x-2|>1}$ .

Επομένως η παράσταση

έχει ελάχιστη τιμή ίση με

όταν $1\leq x \leq 2$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 29, 2012 11:07 pm**

Αλλιώς το 1:

Ισχύει $\displaystyle{|a-b|\leq |a|+|b|}$ και ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{ab\leq 0.}$

Άρα $\displaystyle{|x-1|+|x-2|\geq |x-1-(x-2)|=1}$ και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{(x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow x\in [1,2].}$