mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 4:33 pm**

Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Γίνεται προσπάθεια ώστε κάθε μια από αυτές να καλύπτει όσο το δυνατό μεγαλύτερο εύρος ύλης.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.

Άσκηση 1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \left( {\lambda - 2} \right){x^2} - 2\left| {\rm{\lambda }} \right|{\rm{x}} + {\rm{\lambda }} + {\rm{2}}}$ με $\displaystyle{\lambda \in R - \left\{ 2 \right\}}$ .
Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R - \left\{ 2 \right\}}$ .
Β) Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ με $\displaystyle{\lambda \in R - \left\{ 2 \right\}}$ να έχει ελάχιστο στο ${x_o} = 2$ .
Γ) Αν $\lambda = 4$
α) να λύσετε την ανίσωση $\frac{{f\left( x \right)}}{{2x}} \le - 8$
β) να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της

τέμνει τους άξονες x'x

και

γ) να λύσετε την εξίσωση $\left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - 2$
δ) να βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της

είναι πάνω από την ευθεία y = 6

ε) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής $f\left( x \right)$ και το σημείο στο οποίο η $f\left( x \right)$ τέμνει τον y'y

Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 5:22 pm**

A) Έχουμε:

$\displaystyle{ \Delta = \left( { - 2\left| \lambda \right|} \right)^2 - 4\left( {\lambda - 2} \right) \cdot \left( {\lambda + 2} \right) = 4\lambda ^2 - 4\left( {\lambda ^2 - 4} \right) = 4\lambda ^2 - 4\lambda ^2 + 16 = 16 > 0 }$ για κάθε $\displaystyle{ \lambda \in R - \left\{ 2 \right\} }$ οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Β)
Για να έχει η f ελάχιστο πρέπει

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \lambda - 2 > 0 \\ x_0 = x_{\min } = - \frac{\beta } {{2\alpha }} = - \frac{{ - 2\left| \lambda \right|}} {{2\left( {\lambda - 2} \right)}} = 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda > 2 > 0 \\ x_0 = x_{\min } = - \frac{\beta } {{2\alpha }} = - \frac{{ - 2\lambda }} {{2\left( {\lambda - 2} \right)}} = 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda > 2 > 0 \\ \frac{\lambda } {{\lambda - 2}} = 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda > 2 > 0 \\ \lambda = 2\lambda - 4 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda > 2 > 0 \\ \boxed{\lambda = 4} \\ \end{gathered} \right. }$

Γ)

α) Για $\displaystyle{ \lambda = 4 }$ έχουμε: $\displaystyle{ f\left( x \right) = 2x^2 - 8x + 6 }$ οπότε από την ανίσωση έχουμε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \frac{{f\left( x \right)}} {{2x}} \leqslant - 8 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2x^2 - 8x + 6}} {{2x}} \leqslant - 8 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{2\left( {x^2 - 4x + 3} \right)}} {{2x}} \leqslant - 8 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{x^2 - 4x + 3}} {x} \leqslant - 8 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{x^2 - 4x + 3}} {x} + 8 \leqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{x^2 - 4x + 3 + 8x}} {x} \leqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{x^2 + 4x + 3}} {x} \leqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \cdot \left( {x^2 + 4x + 3} \right) \leqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \cdot \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right) \leqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots }$ $\displaystyle{ \boxed{x \in \left( { - \infty , - 3} \right] \cup \left[ { - 1,0} \right)} }$

β) Για $\displaystyle{ x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \boxed{C_f \cap y'y = K\left( {0,6} \right)} }$

Για $\displaystyle{ f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 8x + 6 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x^2 - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ \boxed{C_f \cap x'x = \left\{ {A_1 \left( {1,0} \right),A_2 \left( {3,0} \right)} \right\}} }$

γ) Είναι

$\displaystyle{ \left| {f\left( x \right)} \right| = 2x - 2 \Leftrightarrow \left| {2x^2 - 8x + 6} \right| = 2x - 2 \Leftrightarrow 2 \cdot \left| {x^2 - 4x + 3} \right| = 2 \cdot \left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left| {x^2 - 4x + 3} \right| = x - 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x^2 - 4x + 3 = x - 1 \hfill \\ x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ v \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - x^2 + 4x - 3 = x - 1 \hfill \\ x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x^2 - 5x + 4 = 0 \hfill \\ x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ v \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x^2 - 3x + 2 = 0 \hfill \\ x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \boxed{x = 1,x = 4} \hfill \\ x \in \left( { - \infty ,1} \right] \cup \left[ {3, + \infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ v \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 1(\alpha \pi o\rho ),\boxed{x = 2} \hfill \\ x \in \left( {1,3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

δ) Πρέπει $\displaystyle{ f\left( x \right) > 6 \Leftrightarrow 2x^2 - 8x + 6 > 6 \Leftrightarrow 2x^2 - 8x > 0 \Leftrightarrow 2x\left( {x - 4} \right) > 0 \Leftrightarrow \boxed{x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {4, + \infty } \right)} }$

ε) Η κορυφή της παραβολής είναι $\displaystyle{ {\rm M}\left( { - \frac{\beta } {{2\alpha }},f\left( { - \frac{\beta } {{2\alpha }}} \right)} \right) \to {\rm M}\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) \to \boxed{{\rm M}\left( {2, - 2} \right)} }$
και το σημείο που κόβει τον άξονα y’y είναι (όπως βρήκαμε) το $\displaystyle{ K\left( {0,6} \right) }$

Είναι προφανές (με διαφορετικές τετμημένες) ότι η ζητούμενη ευθεία (ε) είναι της μορφής: $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y = ax + b:\left( 1 \right) }$

Με $\displaystyle{ {\rm M}\left( {2, - 2} \right) \in \left( \varepsilon \right) \Leftrightarrow 2a + b = - 2:\left( 3 \right) }$ και με $\displaystyle{ K\left( {0,6} \right) \in \left( \varepsilon \right) \Leftrightarrow b = 6:\left( 3 \right) }$

Το σύστημα των (2) και (3) δίνει (εύκολα) $\displaystyle{ b = 6 }$ και $\displaystyle{ a = - 4 }$
Άρα η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση $\displaystyle{ \boxed{y = - 4x + 6} }$

ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 8:44 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:A) Έχουμε:

πλήρης και αναλυτική λύση!

Ακολουθεί η άσκηση 2, η ιδέα της οποίας προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 8:50 pm**

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{x - \frac{1}{x}}}{{{x^2} - 1}}}$
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της
Β) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή
Γ) Να βρείτε τη μονοτονία της

σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.
Δ) Να βρείτε (εφ΄ όσον υπάρχουν) τα σημεία όπου η ${C_f}$ τέμνει τις ευθείες x = 0

,

,

ή

Ε) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \ge 1}$
Στ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)$ , $O\left( {0,0} \right)$ , και $\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)$ είναι συνευθειακά.
Ζ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 9:56 pm**

A)
Περιορισμοί:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \\ x^2 - 1 \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \\ x^2 \ne 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 0 \\ x \ne \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A_f = R - \left\{ { - 1,0,1} \right\} \Rightarrow \boxed{A_f = \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)} }$

και για $\displaystyle{ x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x - \frac{1} {x}}} {{x^2 - 1}} = \frac{{\frac{{x^2 - 1}} {x}}} {{x^2 - 1}} = \frac{{x^2 - 1}} {{x \cdot \left( {x^2 - 1} \right)}}\mathop \Rightarrow \limits^{x \ne \pm 1} \boxed{f\left( x \right) = \frac{1} {x},x \in A_f } }$

όπου $\displaystyle{ A_f }$ παριστάνει το πεδίο ορισμού της f

Β) Επειδή το πεδίο ορισμού της f είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν αν $\displaystyle{ x \in A_f \Rightarrow - x \in A_f }$ και $\displaystyle{ f\left( { - x} \right) = \frac{1} {{ - x}} = - \frac{1} {x} = - f\left( x \right) }$ άρα η f είναι περιττή

Γ)
• Για κάθε $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in \left( { - \infty , - 1} \right) }$ με $\displaystyle{ x_1 < x_2 < - 1 < 0 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left( { - \infty , - 1} \right) }$ .

• Ομοίως για κάθε $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in \left( { - 1,0} \right) }$ με $\displaystyle{ x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left( { - 1,0} \right) }$

**Παρατήρηση: Αν $\displaystyle{ x_1 < - 1 < x_2 < 0 \Rightarrow 0 > \frac{1} {{x_1 }} > - 1 > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \boxed{\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)} }$

• για κάθε $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in \left( {0,1} \right) }$ με $\displaystyle{ 0 < x_1 < x_2 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left( {0,1} \right) }$ .

• και τέλος για κάθε $\displaystyle{ x_1 ,x_2 \in \left( {1, + \infty } \right) }$ με $\displaystyle{ 0 < 1 < x_1 < x_2 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left( {1, + \infty } \right) }$

Παρατήρηση: Αν $\displaystyle{ 0 < x_1 < 1 < x_2 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} > 1 > \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) > f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f }$ τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \boxed{\left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)} }$

*** Προσοχή!!! η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της αλλά κατά διαστήματα (στα $\displaystyle{ \boxed{\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)} }$ και $\displaystyle{ \boxed{\left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)} }$ ) αφού αν

$\displaystyle{ x_1 < 0\mathop < \limits^{ \ne 1} x_2 \Rightarrow \frac{1} {{x_1 }} < 0 < \frac{1} {{x_2 }} \Rightarrow f\left( {x_1 } \right) < f\left( {x_2 } \right) }$

Δ) Εφόσον $\displaystyle{ - 1,0,1 \in A_f }$ προφανώς η $\displaystyle{ C_f }$ δεν τέμνει τις (κατακόρυφες) ευθείες με εξισώσεις $\displaystyle{ x = - 1,x = 0,x = 1 }$ αλλά και επειδή $\displaystyle{ f\left( x \right) = \frac{1} {x} \ne 0,\forall x \in A_f }$ η $\displaystyle{ C_f }$ δεν τέμνει ούτε την (οριζόντια) ευθεία με εξίσωση $\displaystyle{ y = 0 }$ (τον άξονα x'x)

Ε)

$\displaystyle{ \left| {f\left( x \right)} \right| \geqslant 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{1} {x}} \right| \geqslant 1 \\ x \ne 0, \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1} {{\left| x \right|}} \geqslant 1 \\ x \ne 0, \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| x \right| \leqslant 1 \\ x \ne 0, \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant x \leqslant 1 \\ x \ne 0, \pm 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 < x < 1 \\ x \ne 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right)} }$

ΣΤ) Έστω $\displaystyle{ A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = \frac{1} {x}} \boxed{A\left( { - 2, - \frac{1} {2}} \right)} }$ , $\displaystyle{ B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f\left( x \right) = \frac{1} {x}} \boxed{B\left( {2,\frac{1} {2}} \right)} }$ και $\displaystyle{ \boxed{O\left( {0,0} \right)} }$

Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το $\displaystyle{ O\left( {0,0} \right) }$ και από το σημείο $\displaystyle{ B\left( {2,\frac{1} {2}} \right) }$ .

Προφανώς η εξίσωση της (ε) (επειδή διέρχεται από το $\displaystyle{ O\left( {0,0} \right) }$ και δεν είναι παράλληλη στον y’y (τα Ο και Β έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι της μορφής $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y = \lambda x:\left( 1 \right) }$

Επειδή $\displaystyle{ B\left( {2,\frac{1} {2}} \right) \in \left( \varepsilon \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \frac{1} {2} = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1} {4} \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon \right):y = \frac{1} {4}x}:\left( 2 \right) }$

Επειδή $\displaystyle{ - \frac{1} {2} = \frac{1} {4}\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow - \frac{1} {2} = - \frac{1} {2} }$ οι συντεταγμένες και του Α επαληθεύουν την εξίσωση της $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right) \leftrightarrow {\rm O}{\rm B} }$ οπότε το σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά.

Z) Η γραφική της παράσταση στο συννημένο

ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ Η ΑΝΑΣΤΑΣΗ !!!

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 10:13 pm**

Με πρόλαβε ο Στάθης.
Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η

είναι περιττή τα σημεία $A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)$ , $B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)$ είναι συμμετρικά ως προς το $O\left( {0,0} \right)$ , γιατί $f\left( { - 2} \right) = - f\left( 2 \right)$
έτσι τα $A,\;O,\;B$ είναι συνευθειακά.

Καλή Ανάσταση

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 23, 2011 10:52 pm**

hlkampel έγραψε: Λίγο πιο σύντομα το ερώτημα Στ.
Στ) Επειδή η είναι περιττή τα σημεία $A\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)$ , $B\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)$ είναι συμμετρικά ως προς το $O\left( {0,0} \right)$ , γιατί $f\left( { - 2} \right) = - f\left( 2 \right)$
έτσι τα $A,\;O,\;B$ είναι συνευθειακά.

Καλή Ανάσταση

Με τον τρόπο αυτό, μάλιστα, αποδεικνύουμε ότι το Ο είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α και Β, κάτι που θα μπορούσε να ζητείται να αποδειχτεί.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 24, 2011 10:37 pm**

Άσκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = \lambda {x^2} - 2\left( {\lambda + 2} \right)x + 8$ με . $\lambda \in R$
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του $\lambda$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα y'y

σε σταθερό σημείο

Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του $\lambda$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον άξονα x'x

, με σταθερή τετμημένη
Γ) Να βρείτε τις τιμές του $\lambda$ για τις οποίες τη εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ έχει δύο ομόσημες ρίζες
Δ) Να βρείτε τις τιμές του $\lambda$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της

, εφάπτεται στην ευθεία y = 0

Ε) Έστω $\lambda \in R - \left\{ {0,2} \right\}$ και $B,\,\,\Gamma$ είναι τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

, με τον

τότε:
α) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι ${\rm E} = \frac{{8\left| {\lambda - 2} \right|}}{{\left| \lambda \right|}}$
β) να βρείτε τις τιμές του $\lambda$ για τις οποίες είναι ${\rm E} = 24$
Στ) Αν $\lambda = 2$ , να κάνετε πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της

Μ.

Από άσκηση του Ευκλείδη Β τ 76

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 24, 2011 11:33 pm**

Α) Είναι $\displaystyle{ f\left( 0 \right) = 8 \Rightarrow C_f \cap y'y = \boxed{A\left( {0,8} \right) = ct} }$

Β) Είναι $\displaystyle{ \Delta = \left[ { - 2\left( {\lambda + 2} \right)} \right]^2 - 32\lambda = 4\left( {\lambda + 2} \right)^2 - 32\lambda = 4\left[ {\left( {\lambda + 2} \right)^2 - 8\lambda } \right] \Rightarrow \ldots \boxed{\Delta = 4\left( {\lambda - 2} \right)^2 \geqslant 0,\forall \lambda \in R} }$

Οπότε η εξίσωση $\displaystyle{ f\left( x \right) = 0 }$ θα έχει ρίζες τις

$\displaystyle{ x_1 ,x_2 = \frac{{2\left( {\lambda + 2} \right) \pm \sqrt {4\left( {\lambda - 2} \right)^2 } }} {{2\lambda }} = \frac{{2\left( {\lambda + 2} \right) \pm 2\left( {\lambda - 2} \right)}} {{2\lambda }} \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x_1 = \frac{{2\left( {\lambda + 2} \right) - 2\left( {\lambda - 2} \right)}} {{2\lambda }} \hfill \\ x_2 = \frac{{2\left( {\lambda + 2} \right) + 2\left( {\lambda - 2} \right)}} {{2\lambda }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x_1 = \frac{4} {\lambda } \hfill \\ x_2 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{C_f \cap x'x = \left\{ {{\rm B}\left( {2,0} \right),\Gamma \left( {\frac{4} {\lambda },0} \right)} \right\}} }$
οπότε άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο με σταθερή τετμημένη 4

Γ) Για να έχει η εξίσωση $\displaystyle{ f\left( x \right) = 0 }$ ρίζες ομόσημες πρέπει $\displaystyle{ \frac{\gamma } {\alpha } > 0 \to \frac{8} {\lambda } > 0 \Rightarrow \boxed{\lambda > 0} }$

Δ) Για να εφάπτεται η γραφική παράσταση της f στον άξονα x’x πρέπει και αρκεί : $\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow 4\left( {\lambda - 2} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\lambda = 2} }$

Ε)
α) Είναι $\displaystyle{ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1} {2}\left( {{\rm O}{\rm A}} \right) \cdot \left( {{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1} {2} \cdot 8 \cdot \left| {x_2 - x_1 } \right| = 4 \cdot \left| {2 - \frac{4} {\lambda }} \right| = 4 \cdot \left| {\frac{{2\lambda - 4}} {\lambda }} \right| \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = 8 \cdot \frac{{\left| {\lambda - 2} \right|}} {{\left| \lambda \right|}}} }$

β) Αν είναι

$\displaystyle{ {\rm E} = 24 \Leftrightarrow 8 \cdot \frac{{\left| {\lambda - 2} \right|}} {{\left| \lambda \right|}} = 24 \Leftrightarrow \frac{{\left| {\lambda - 2} \right|}} {{\left| \lambda \right|}} = 3 \Leftrightarrow \left| {\lambda - 2} \right| = \left| {3\lambda } \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda - 2 = 3\lambda \hfill \\ \lambda - 2 = - 3\lambda \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} \lambda = - 1 \hfill \\ \lambda = \frac{1} {2} \hfill \\ \end{gathered} \right.} }$

γ) Για λ=2 έχουμε: $\displaystyle{ f\left( x \right) = 2x^2 - 6x + 8 }$ με $\displaystyle{ - \frac{\beta } {{2\alpha }} = \frac{6} {4} = \frac{3} {2} }$ οπότε με $\displaystyle{ \lambda > 0 }$ έχουμε:

• Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{ \left( { - \infty ,\frac{3} {2}} \right] }$ και

• Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {\frac{3} {2}, + \infty } \right) }$

• Έχει ελάχιστο στο $\displaystyle{ x_0 = \frac{3} {2} }$ το $\displaystyle{ f\left( {\frac{3} {2}} \right) = \ldots \frac{7} {2} }$

Στάθης Κούτρας
και χρόνια πολλά

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 1:59 pm**

Άσκηση 4

Δίνεται η συνάρτηση : $\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x} & {\alpha \nu } & {x < 0} \\ {x + 6\lambda - {\lambda ^2}} & {\alpha \nu } & {x \ge 0} \\ \end{array}} \right.}$ με $\lambda \in R$
Α) Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda$ ώστε $\displaystyle{f(0) = f\left( { - 8} \right)}$
Β) Αν $\lambda = 3$ τότε:
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\sqrt {3\sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}}}$
β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων $\left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right)$ και $\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$
γ) Να βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της

, τέμνει τους άξονες x'x

και

δ) Να λύσετε την ανίσωση $f\left( x \right) \le 9$
ε) Να βρείτε τη μονοτονία της

σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της
στ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της

Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 2:33 pm**

A) $\displaystyle{ f\left( 0 \right) = f\left( { - 8} \right) \Leftrightarrow 6\lambda - \lambda ^2 = 9 \Leftrightarrow \lambda ^2 - 6\lambda + 9 = 0 \Leftrightarrow \left( {\lambda - 3} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \lambda - 3 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\lambda = 3} }$

B) Για $\displaystyle{ \lambda = 3 }$ έχουμε: $\displaystyle{ f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1 - x,x < 0 \hfill \\ x + 9,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

οπότε
α) $\displaystyle{ f\left( {18} \right) = 18 + 9 = 27 \Rightarrow \sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}} = \sqrt[3]{{27}} = 3 \Rightarrow \sqrt {3 \cdot \sqrt[3]{{f\left( {18} \right)}}} = \sqrt 9 = 3 }$

β) Αν $\displaystyle{ A\left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right) \to A\left( { - 3,4} \right) }$ και $\displaystyle{ B\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) \to B\left( {0,9} \right) }$ θα είναι $\displaystyle{ \left( {AB} \right) = \sqrt {\left( { - 3 - 0} \right)^2 + \left( {9 - 4} \right)^2 } \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {AB} \right) = \sqrt {34} } }$

γ) Έχουμε: $\displaystyle{ f\left( 0 \right) = 9 \Rightarrow \boxed{C_f \cap y'y = K\left( {0,9} \right)} }$ και

$\displaystyle{ f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - x = 0,x < 0 \hfill \\ x + 9 = 0,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 > 0(\alpha \pi o\rho \rho ),x < 0 \hfill \\ x = - 9 < 0 < (\alpha \pi o\rho \rho ),x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. }$ δηλαδή η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x’x

δ) έχουμε: $\displaystyle{ f\left( x \right) \leqslant 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 1 - x \leqslant 9 \hfill \\ x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ v \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x + 9 \leqslant 9 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 8 \hfill \\ x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ v \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left[ { - 8,0} \right) \hfill \\ v \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{x \in \left[ { - 8,0} \right]} }$

ε) Για $\displaystyle{ x < 0 }$ επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης -1 η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left( { - \infty ,0} \right) }$

Για $\displaystyle{ x \geqslant 0 }$ επειδή ο τύπος της f είναι τύπος ευθείες με συντελεστή διεύθυνσης 1 η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{ \left[ {0, + \infty } \right) }$

στ) Στο συννημένο

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 3:46 pm**

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 4

β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων $\left( { - 3,f\left( { - 3} \right)} \right)$ και $\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$

Μίλτος

Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 3:51 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Ανεβάζω -σταδιακά- κάποιες ασκήσεις, για επανάληψη.
Πιθανόν κάποια ερωτήματα να "ξεφεύγουν" από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 4:42 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Μίλτο η απόσταση των σημείων δεν είναι εκτός ύλης;

Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"

Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.

Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.

Από εδώ θέλω να ευχαριστήσω το Στάθη Κούτρα για τις υποδειγματικές λύσεις που δίνει.

Ευχαριστώ το Χρήστο για την απάντησή του.

Τέλος να πω ότι οποιαδήποτε παρατήρηση ή συμπλήρωση των ερωτημάτων των ασκήσεων είναι αποδεκτή.

Μίλτος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 5:30 pm**

Μίλτο, καλησπέρα

Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις

Νά είσαι πάντα γερός

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 8:45 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Μίλτο, καλησπέρα

Θέλω και εγώ να σε ευχαριστήσω από τη μεριά μου για τα καλά σου λόγια αλλά και τα όμορφα συνδυαστικά θέματα που ανεβάζεις

Νά είσαι πάντα γερός

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

Ευχαριστώ Στάθη, να είσαι και συ πάντα καλά
Μίλτος

Και επόμενη άσκηση (τα τρία πρώτα ερωτήματα) προέρχεται από θέμα εξετάσεων του 4ου ΓΛΧ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 9:04 pm**

Άσκηση 5

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = 2{x^2} - \left( {\lambda + 1} \right)x + \left( {{\kappa ^2} - 2\kappa } \right)$ με $x \in R$ και $\kappa ,{\rm{ }}\lambda \in R$ . Γνωρίζουμε ότι για x = 1

η

έχει ελάχιστο το

.
Α) Να βρείτε τα $\kappa$ και $\lambda$
Β) Αν $\kappa = 1$ και $\lambda = 3$ τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση $\left| {f\left( x \right) - 2{x^2}} \right| = 2{x^2} - f\left( x \right)$
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

με $g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - f\left( x \right) + 4}$
γ) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

δ) Να αποδείξετε ότι $f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right)$
ε) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της

τέμνει τους άξονες
στ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής $f\left( x \right)$ και το σημείο που η γραφική παράσταση της

τέμνει το θετικό ημιάξονα

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 9:55 pm**

Μίλτο εδώ είμαι ακόμα...

Α) Είναι

$\displaystyle{ x_{\min } = - \frac{\beta } {{2\alpha }} \to x_{\min } = \frac{{\lambda + 1}} {4}\mathop \Rightarrow \limits^{x_{\min } = 1} \frac{{\lambda + 1}} {4} = 1 \Rightarrow \ldots \boxed{\lambda = 3} }$
και

$\displaystyle{ \min f = f\left( {x_{\min } } \right) = f\left( 1 \right)\mathop = \limits^{\lambda = 3} \ldots \kappa ^2 - 2\kappa - 2\mathop \Rightarrow \limits^{\min f = - 3} \kappa ^2 - 2\kappa - 2 = - 3 }$ \displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow \kappa ^2 - 2\kappa + 1 = 0 \Rightarrow \left( {\kappa - 1} \right)^2 = 0 \Rightarrow \ldots \boxed{\kappa = 1}
}\displaystyle{
\kappa = 1,\lambda = 3 \Rightarrow \boxed{f\left( x \right) = 2x^2 - 4x - 1}
}\displaystyle{
\left| {f\left( x \right) - 2x^2 } \right| = 2x^2 - f\left( x \right) = - \left( {f\left( x \right) - 2x^2 } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - 2x^2 \leqslant 0
}} $\displaystyle{ \mathop \Leftrightarrow \limits^{f\left( x \right) = 2x^2 - 4x - 1} \ldots - 4x - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow \ldots \boxed{x \geqslant - \frac{1} {4}} }$

β) Είναι $\displaystyle{ g\left( x \right) = \sqrt {x^2 - \left( {2x^2 - 4x - 1} \right) + 4} \Rightarrow \ldots g\left( x \right) = \sqrt { - x^2 + 4x + 5} }$

Για να ορίζεται η g πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικός αριθμός δηλαδή

$\displaystyle{ - x^2 + 4x + 5 \geqslant 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{ - x^2 + 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 5} \boxed{x \in \left[ { - 1,5} \right]} }$

γ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{ \left( { - \infty , - \frac{\beta } {{2\alpha }}} \right] \to \boxed{\left( { - \infty ,1} \right]} }$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ { - \frac{\beta } {{2\alpha }}, + \infty } \right) \to \boxed{\left[ {1, + \infty } \right)} }$

δ) Είναι

$\displaystyle{ f\left( x \right) = 2x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 2 - 3 = 2\left( {x - 1} \right)^2 - 3 \Rightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{
\left\{ \begin{gathered}
f\left( {1 - x} \right) = 2\left( {1 - x - 1} \right)^2 - 3 = 2\left( { - x} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
f\left( {1 + x} \right) = 2\left( {1 + x - 1} \right)^2 - 3 = 2x^2 - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{f\left( {1 - x} \right) = f\left( {1 + x} \right) = 2x^2 - 3}
}\displaystyle{
g\left( 0 \right) = \ldots \sqrt 5 \Rightarrow C_g \cap y'y = \boxed{K\left( {0,\sqrt 5 } \right)}
}\displaystyle{
g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\sqrt { - x^2 + 4x + 5} = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
- x^2 + 4x + 5 = 0 \hfill \\
- 1 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = - 1,x = 5 \Rightarrow
}} $\displaystyle{ \boxed{C_g \cap x'x = \left\{ {\Lambda \left( { - 1,0} \right),{\rm M}\left( {5,0} \right)} \right\}} }$

στ) Η κορυφή της παραβολής είναι $\displaystyle{ {\rm N}\left( {1, - 3} \right) }$

Άρα ζητάμε φανερά την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ν και Μ
Είναι προφανώς της μορφής $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y = ax + b:\left( 1 \right) }$ (λόγω διαφορετικών τετμημένων των σημείων Μ και Ν)

Έχουμε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} {\rm N}\left( {1, - 3} \right) \in \left( \varepsilon \right) \hfill \\ {\rm M}\left( {5,0} \right) \in \left( \varepsilon \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = - 3 \hfill \\ 5a + b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( - \right)} \left\{ \begin{gathered} a + b = - 3 \hfill \\ 4a = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} b = - \frac{{15}} {4} \hfill \\ a = \frac{3} {4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\left( \varepsilon \right):y = \frac{3} {4}x - \frac{{15}} {4}} }$

Πάντα φιλικά

Στάθης Κούτρας

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 10:08 pm**

Αν και με πρόλαβε για λίγο ο Στάθης και οι πράξεις είναι σύντομες....την δίνω για τον κόπο....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 26, 2011 1:35 am**

m.pαpαgrigorakis έγραψε: Μάκη δεν έχω μελετήσει αναλυτικά τις οδηγίες επειδή δεν διδάσκω φέτος στην Α Λυκείου. Αυτός είναι ο λόγος που έβαλα και το σχόλιο ότι "πιθανόν κάποια ερωτήματα να ξεφεύγουν από το αυστηρό πλαίσιο της διδακτέας ύλης"

Τις ασκήσεις αυτές τις συνθέτω τις τελευταίες μέρες. Τις δίνω για επανάληψη στο γιος μου που πάει στην Α Λυκείου.

Σκέφτηκα ότι ίσως φανούν χρήσιμες και σε κάποιον άλλο, αφού βέβαια τις προσαρμόσει κατάλληλα για αυτό και τις ανεβάζω εδώ.

Αρχικά Μίλτο πρέπει να ομολογήσω ότι κάνεις μια αξιέπαινη προσπάθεια στην Α΄ Λυκείου, όπως αξιοσημείωτο είναι και το ενδιαφέρον που δείχνει ο Στάθης με τις όμορφες λύσεις που μας παρουσιάζει.

Νομίζω ότι έχετε υποχρέωση να τα μαζέψετε και να τα κάνετε ένα όμορφο φυλλαδιάκι!!

Ένσταση! Μιας που κάνεις τον κόπο (ή κάνετε), γιατί δεν θέτεις ασκήσεις εντός της ύλης, να φανούν χρήσιμες σε όλους αλλά και στον υιό σου;;

Όλοι μας έχουμε σημειώσεις - ασκήσεις από την παλιά ύλη - βιβλίο, άρα θα ήταν ωφέλιμο να φρεσκάρουμε τα αρχεία μας με νέα σύγχρονα θέματα προσαρμοσμένα στο νέο βιβλίο, στην νέα ύλη και να μην αναπαράγουμε παλιές ασκήσεις, τι λες;;

Δίνω μια άσκηση με αυτό το σκεπτικό!!

Άσκηση 6η
Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{ f\left( x \right) = 2x^2 - 2\left( {\lambda - 5} \right)x - \left( {\lambda - 5} \right) }$ , όπου λ πραγματικός αριθμός.
α. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου ισούται με: Δ = 4(λ – 5)(λ – 3).
β. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
γ. Αν x_1

,

είναι οι άνισες ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε το λ αν ισχύει:
$\displaystyle{x_1^2 + x_2^2}$ = 0,75
δ. Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ ώστε $\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( x \right)}$ για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Σημείωση: Αν θέλουμε να το ψειρίσουμε και το γ υποερώτημα είναι εκτός του πνεύματος του νέου βιβλίου...

edit: διόρθωση του Latex

mathematica.gr

Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη

Re: Γενικές - Συνδυαστικές Ασκήσεις σε όλη την Ύλη