Ελάχιστη Τιμή

kostas136 · #1

Έστω $a, b\in R$ όπου ab=10

. Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $A=2a^{2}+18b^{2}.$

Ανδρέας Πούλος · #2

Με την υπόδειξή του ο Κώστας υπονοεί την βασική ανισότητα:
$x^{2} +y^{2} \geq 2xy$ .

Θα δώσω μία διαφορετική προσέγγιση στο ίδιο θέμα.

Θέτω α + 3β = x, τότε $a^{2} + 9b^{2} + 6ab = x^{2}$ , δηλαδή $a^{2} + 9b^{2} = x^{2} - 60$ . Συνεπώς, $2\left(a^{2} + 9b^{2} \right) = 2\left(x^{2} - 60\right)$ .
Η ελάχιστη τιμή αυτής της αλγεβρικής ποσότητας (αν τη δούμε ως ελάχιστη τιμή ενός τριωνύμου) είναι η $2\sqrt{60}$ .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#3

Είναι: $A=(1+1)(\alpha ^2+(3\beta )^2)\geq (\alpha +3\beta )^2$
Η ισότητα ισχύει όταν:
$\frac{\alpha }{1}=\frac{3\beta }{1}$ (Από ανισότητα Schwarz).
Άρα: $\alpha =3\beta$ και επειδή από την υπόθεση $\alpha \beta =10$ άρα:
$\beta =\sqrt{\frac{10}{3}}$ και $\alpha =3\sqrt{\frac{10}{3}}$ .
Επομένως η ελάχιστη τιμή του Α είναι:
$A_{\epsilon \lambda }=(3\sqrt{\frac{10}{3}}+3\sqrt{\frac{10}{3}})^2=120$
Σημείωση: Στο συνημμένο αρχείο δίνεται το γράφημα της συνάρτησης που προκύπτει αν στην Α θέσω όπου β το 10/α.

APOSTOLAKIS · #4

Μια άλλη προσέγγιση.
Έστω τα διανύσματα $\vec{v}=(1,1), \vec{u}=(a,3b)$ , τότε $\vec{v}\cdot \vec{u}=a+3b$ και
$\left|\vec{v} \right|=\sqrt{2}, \left|\vec{u} \right|=\sqrt{a^{2}+9b^{2}}$ . Ισχύει:
$\left|\vec{v}\cdot \vec{u} \right|\leq \left|\vec{v} \right|\cdot \left|\vec{u} \right|$ .
Οπότε $\left|a+3b \right|\leq \sqrt{2}\cdot \sqrt{a^{2}+9b^{2}}$ .
Στη συνέχεια υψώνουμε στο τετράγωνο ... και min=120.

Ελάχιστη Τιμή

Ελάχιστη Τιμή

Re: Ελάχιστη Τιμή

Re: Ελάχιστη Τιμή

Re: Ελάχιστη Τιμή

Μέλη σε σύνδεση