Συμμετρίες

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Συμμετρίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιαν 17, 2020 12:05 am

Έχουμε στη διάθεσή μας ένα τετράγωνο το οποίο είναι χωρισμένο σε 4 ίσα μικρότερα τετράγωνα.

Σε κάθε μικρό τετράγωνο γράφουμε το γράμμα J. Τα μικρά τετράγωνα μπορούμε

μόνο να τα περιστρέψουμε και να τα ξαναενώσουμε ώστε να φτιάξουμε το μεγάλο τετράγωνο.

Πόσα διαφορετικά μεγάλα τετράγωνα μπορούμε να φτιάξουμε αυτό τον τρόπο;

**Θα μπορούσε να μπει και σε φάκελο Άλγεβρας.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συμμετρίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Ιαν 17, 2020 12:59 am

Θεωρώντας ως ισοδύναμα τα μεγάλα τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφή,είναι η απάντηση
70;.Αν όχι, δεν έχει νόημα να βάλω λύση..
τελευταία επεξεργασία από min## σε Παρ Ιαν 17, 2020 1:37 am, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συμμετρίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιαν 17, 2020 1:13 am

min## έγραψε:
Παρ Ιαν 17, 2020 12:59 am
Θεωρώντας ως ισοδύναμα τα μεγάλα τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφή,είναι η απάντηση
70;.Αν όχι, δεν έχει νόημα να βάλω λύση..
Είναι σωστό. Βάλε τη λύση σου :clap2:


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Συμμετρίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Ιαν 17, 2020 1:37 am

Λύση
Θεωρούμε την ομάδα G που δρα στα στοιχεία του συνόλου A των 4^4 (μεγάλων) τετραγώνων που προκύπτουν από τις στροφές των μικρών τετραγώνων και περιέχει τα στοιχεία "περιστροφή κατά 0 μοίρες δεξιόστροφα","..κατά 90","..κατά 180" και "κατά 270".
Βρίσκουμε πως:
Η πρώτη στροφή φιξάρει όλα τα στοιχείατου A,4^4=256 στον αριθμό.
Η δεύτερη περιστροφή φιξάρει 4 στοιχεία του A:
Αυτά για τα οποία κάθε τετραγωνάκι βρίσκεται στραμμένο αριστερόστροφα κατά 90 από το επόμενό του (δεξιόστροφα).Επομένως υπάρχει 1 βαθμός ελευθερίας κλπ.
Η τρίτη περιστροφή φιξάρει 16 στοιχεία του A (παρομοια-εστιάζουμε στα ζεύγη μικρών τετραγώνων που βρίσκονται διαγώνια/απέναντι).
Η τέταρτη περιστροφή φιξάρει 4 στοιχεία του A (όμοια με τη δεύτερη).
Επομένως,ο ζητούμενος αριθμός είναι από Λήμμα Burnside ίσος με   \dfrac{1}{\left |  G\right |}\sum_{g\in G}\left | A^g \right |=\dfrac{1}{4}(256+4+16+4)=70 όπου A^g=\left \{ a\in A /g\cdot a=a\right \}.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2790
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Συμμετρίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Ιαν 24, 2020 11:33 pm

Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας 1=J, 2=J*, 3=J**, 4=J***, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά 90^0 (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι 4^4=256 δυνατότητες 'αναλύονται' σε 70=60+6+4 περιπτώσεις! Η κάθε τετράδα από τις 70 που παρατίθενται αποτελείται από 4 μεγάλα 'αριθμημένα' τετράγωνα ισοδύναμα μέσω στροφής. Σε κάθε ωρολογιακή στροφή μεγάλου τετραγώνου ο κάθε αριθμός μετακινείται προς τον ωρολογιακά επόμενο και αυξάνεται κατά μία μονάδα (εκτός από το 4 που γίνεται 1), κάτι που γίνεται εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε τι συμβαίνει στην κάθε δυνατή θέση του J κατά την διάρκεια της στροφής. Από τις 70 τετράδες οι 6 είναι στην πραγματικότητα, λόγω συμμετριών και στροφών, ζεύγη και ομοίως οι 4 είναι μονάδες, οπότε όντως 256=60\cdot 4+6\cdot 2+4\cdot 1.

*εννοείται ότι ο βέλτιστος τρόπος αντιμετώπισης είναι αυτός που παρέθεσε ο Μηνάς :)

J-70.png
J-70.png (55.62 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2790
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Συμμετρίες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:38 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιαν 24, 2020 11:33 pm
Παραθέτω στο συνημμένο έναν στοιχειώδη (διαισθητικό όσο και κοπιώδη) τρόπο αντιμετώπισης*: θέτοντας 1=J, 2=J*, 3=J**, 4=J***, όπου ο κάθε αστερίσκος συμβολίζει στροφή του J κατά 90^0 (ωρολογιακά), μπορούμε να δούμε πως οι 4^4=256 δυνατότητες 'αναλύονται' σε 70=60+6+4 περιπτώσεις! Η κάθε τετράδα από τις 70 που παρατίθενται αποτελείται από 4 μεγάλα 'αριθμημένα' τετράγωνα ισοδύναμα μέσω στροφής. Σε κάθε ωρολογιακή στροφή μεγάλου τετραγώνου ο κάθε αριθμός μετακινείται προς τον ωρολογιακά επόμενο και αυξάνεται κατά μία μονάδα (εκτός από το 4 που γίνεται 1), κάτι που γίνεται εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε τι συμβαίνει στην κάθε δυνατή θέση του J κατά την διάρκεια της στροφής. Από τις 70 τετράδες οι 6 είναι στην πραγματικότητα, λόγω συμμετριών και στροφών, ζεύγη και ομοίως οι 4 είναι μονάδες, οπότε όντως 256=60\cdot 4+6\cdot 2+4\cdot 1.
Τελικά τα πράγματα είναι πολύ απλά -- αν και καθόλου δεν λυπάμαι για την εξοντωτική παράθεση των τετράδων, που και διδακτική αξία έχει και στην πολύ σύντομη λύση που παρουσιάζω παρακάτω οδηγεί -- καθώς είναι πολύ εύκολο να χαρακτηρίσουμε εκείνες τις τετράδες μεγάλων τετραγώνων που είναι στην πραγματικότητα ζεύγη ή και μονάδες: πράγματι, αναπαριστώντας σύμφωνα με τα παραπάνω το κάθε μεγάλο τετράγωνο ως πίνακα \begin{pmatrix} x & y  \\ w & z  \end{pmatrix}, όπου x, y, z, w \in {1,2,3,4} παρατηρούμε ότι η τετράδα είναι ζεύγος αν και μόνον αν η κατά 180^0 στροφή (ίση προς δύο διαδοχικές ωρολογιακές στροφές 90^0) του πρώτου μεγάλου τετραγώνου της το αφήνει αναλλοίωτο, αν δηλαδή ισχύει η ισότητα

\begin{pmatrix} z+2 & w+2  \\ y+2 & x+2  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y  \\ w & z  \end{pmatrix}.

Το πολύ απλό σύστημα που προκύπτει δίνει (x,z)=(1,3) ή (x,z)=(3,1) ή (x,z)=(2,4) ή (x,z)=(4,2) ΚΑΙ (y,w)=(1,3) ή (y,w)=(3,1) ή (y,w)=(2,4) ή (y,w)=(4,2). Προκύπτουν 4\cdot 4=16 συνολικά λύσεις: δεν τις παραθέτω, είναι ακριβώς οι λύσεις που βλέπετε, με καφέ και κόκκινο χρώμα, στον πίνακα των 70 τετράδων της προηγούμενης δημοσίευσης -- με καφέ χρώμα και ανά δύο οι 12 λύσεις που αντιστοιχούν στα 6 ζεύγη μεγάλων τετραγώνων, με κόκκινο χρώμα οι 4 λύσεις που αντιστοιχούν στις 4 μονάδες, καθώς ικανοποιούν επιπλέον την εξίσωση

\begin{pmatrix} w+1 & x+1  \\ z+1 & y+1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y  \\ w & z  \end{pmatrix}.

(Η εξίσωση αυτή αντιστοιχεί στην ιδιότητα του αναλλοίωτου ως προς ωρολογιακή στροφή 90^0.)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης