Putnam 1987/B2

#1

Δίνονται μη αρνητικοί ακέραιοι r,s,t

με $t \geqslant r+s$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \sum_{k=0}^s \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \frac{t+1}{(t+1-s)\binom{t-s}{r}}$

dement · #2

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

$\displaystyle \binom{n+1}{k+l+1} = \sum_r \binom{r}{k} \binom{n-r}{l}$

η οποία διαχωρίζει τους τρόπους επιλογής k+l+1

από

στοιχεία στις διάφορες δυνατές θέσεις του (k+1)

-οστού στοιχείου.

Έτσι έχουμε

$\displaystyle \sum_k \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \frac{s! r! (t-r-s)!}{t!} \sum_k \binom{r+k}{r} \binom{t-r-k}{t-r-s} = \frac{s! r! (t-r-s)! (t+1)!}{t! (t-s+1)! s!} = \frac{t+1}{(t-s+1) \binom{t-s}{r}}$

#3

Έτσι το έκανα και εγώ. Βγαίνει επίσης και με επαγωγή στο

.

Putnam 1987/B2

Putnam 1987/B2

Re: Putnam 1987/B2

Re: Putnam 1987/B2

Μέλη σε σύνδεση