Putnam 1987/B2

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 1987/B2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 01, 2018 9:51 pm

Δίνονται μη αρνητικοί ακέραιοι r,s,t με t \geqslant r+s. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle  \sum_{k=0}^s \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \frac{t+1}{(t+1-s)\binom{t-s}{r}}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Putnam 1987/B2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Φεβ 02, 2018 12:06 pm

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

\displaystyle \binom{n+1}{k+l+1} = \sum_r \binom{r}{k} \binom{n-r}{l}

η οποία διαχωρίζει τους τρόπους επιλογής k+l+1 από n+1 στοιχεία στις διάφορες δυνατές θέσεις του (k+1)-οστού στοιχείου.

Έτσι έχουμε

\displaystyle \sum_k \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \frac{s! r! (t-r-s)!}{t!} \sum_k \binom{r+k}{r} \binom{t-r-k}{t-r-s} = \frac{s! r! (t-r-s)! (t+1)!}{t! (t-s+1)! s!} = \frac{t+1}{(t-s+1) \binom{t-s}{r}}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 1987/B2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Φεβ 03, 2018 8:33 am

Έτσι το έκανα και εγώ. Βγαίνει επίσης και με επαγωγή στο s.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης