Ακολουθία ακεραίων

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Ακολουθία ακεραίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μάιος 14, 2017 10:59 am

Έστω μια ακολουθία a_1,a_2,\ldots θετικών ακεραίων ώστε για κάθε δύο θετικούς ακεραίους m,n να ισχύει ότι a_{mn} \neq a_{m(n+1)}.

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος t ώστε a_t \geqslant 2017.



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 188
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ακολουθία ακεραίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τρί Μάιος 16, 2017 10:20 pm

Θεωρώ τις ακολουθίες
b_{1}:a_{1},a_{2},a_{3},...
b_{2}:a_{2},a_{4},a_{6},...
...
b_{n}:a_{2^n},a_{2\cdot 2^n},a_{3\cdot 2^n},...

Κάθε ακολουθια έχει την ιδιότητα κάθε όρος της να διαφέρει από τον προηγούμενο και τον επόμενο.

Θα λέμε ότι 2 ακολουθίες b_{p},b_{q} έχουν την ιδιότητα Α όταν υπάρχουν x,y, ώστε
x\epsilon b_{p},y\epsilon b_{q},x\neq y.

Θα απόδείξω ότι b_{p},b_{q} έχουν την ιδιότητα A για κάθε p,q με ισχυρή επαγωγή.

Οι b_{1},b_{2} έχουν την ιδιότητα Α, γιατί a_{1}\epsilon b_{1},a_{2}\epsilon b_{2},a_{1}\neq a_{2}.

Εστω ότι για κάθε p,q\leq n,b_{p},b_{q} ιδιότητα Α.
Θα δείξω ότι η b_{n+1} ιδιότητα Α με οποιαδήποτε προηγούμενη ακολουθία.

b_{n+1},b_{n} ιδιότητα Α διότι a_{2^{n+1}}\neq a_{2^n}.
b_{n+1},b_{n-1} ιδιότητα Α διότι a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-2^{n-1}}
...
b_{n+1},b_{2} ιδιότητα Α διότι a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-2}
b_{n+1},b_{1} ιδιότητα Α διότι a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-1}.

Θεωρώ τις b_{1},b_{2},...,b_{2017}.
Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.Συνεπώς υπάρχει όρος \geq 2017.


Κώστας Σφακιανάκης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ακολουθία ακεραίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μάιος 16, 2017 11:43 pm

Διαφορετικά:

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, για κάθε θετικό ακέραιο n, υπάρχουν n θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, για κάθε δύο από αυτούς, η διαφορά τους είναι και διαιρέτης του καθενός.

Για n=1 ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για n=k.

Για n=k+1 παίρνουμε k αριθμούς b_1, b_2, ..., b_k με την επιθυμητή ιδιότητα και με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο l. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι k+1 αριθμοί l, l + b_1, ..., l + b_k έχουν την επιθυμητή ιδιότητα, ολοκληρώνοντας την επαγωγή.

Από την ιδιότητα της ακολουθίας, οι όροι a_{b_1}, a_{b_2}, ..., a_{b_k} (όπου b_1, b_2, ..., b_k αριθμοί με την προαναφερθείσα ιδιότητα) πρέπει να είναι ανά δύο διαφορετικοί. Αφού το k είναι αυθαίρετο και η ακολουθία παίρνει τιμές στους θετικούς ακεραίους, έπεται ότι είναι μη φραγμένη άνω (το οποίο συνεπάγεται και το ζητούμενο).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ακολουθία ακεραίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μάιος 17, 2017 9:55 am

ksofsa έγραψε:Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.
Δεν είμαι σίγουρος γι' αυτό. Π.χ. αν όλες ακολουθίες πάνε εναλλάξ 1,2 τότε έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α αλλά δεν ισχύει το συμπέρασμα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης