Ακολουθία ακεραίων

#1

Έστω μια ακολουθία $a_1,a_2,\ldots$ θετικών ακεραίων ώστε για κάθε δύο θετικούς ακεραίους m,n

να ισχύει ότι $a_{mn} \neq a_{m(n+1)}$ .

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος

ώστε $a_t \geqslant 2017$ .

ksofsa · #2

Θεωρώ τις ακολουθίες
$b_{1}:a_{1},a_{2},a_{3},...$
$b_{2}:a_{2},a_{4},a_{6},...$
...
$b_{n}:a_{2^n},a_{2\cdot 2^n},a_{3\cdot 2^n},...$

Κάθε ακολουθια έχει την ιδιότητα κάθε όρος της να διαφέρει από τον προηγούμενο και τον επόμενο.

Θα λέμε ότι 2 ακολουθίες $b_{p},b_{q}$ έχουν την ιδιότητα Α όταν υπάρχουν x,y

, ώστε
$x\epsilon b_{p},y\epsilon b_{q},x\neq y$ .

Θα απόδείξω ότι $b_{p},b_{q}$ έχουν την ιδιότητα A για κάθε p,q

με ισχυρή επαγωγή.

Οι $b_{1},b_{2}$ έχουν την ιδιότητα Α, γιατί $a_{1}\epsilon b_{1},a_{2}\epsilon b_{2},a_{1}\neq a_{2}$ .

Εστω ότι για κάθε $p,q\leq n,b_{p},b_{q}$ ιδιότητα Α.
Θα δείξω ότι η $b_{n+1}$ ιδιότητα Α με οποιαδήποτε προηγούμενη ακολουθία.

$b_{n+1},b_{n}$ ιδιότητα Α διότι $a_{2^{n+1}}\neq a_{2^n}$ .
$b_{n+1},b_{n-1}$ ιδιότητα Α διότι $a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-2^{n-1}}$
...
$b_{n+1},b_{2}$ ιδιότητα Α διότι $a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-2}$
$b_{n+1},b_{1}$ ιδιότητα Α διότι $a_{2^{n+1}}\neq a_{2^{n+1}-1}$ .

Θεωρώ τις $b_{1},b_{2},...,b_{2017}$ .
Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.Συνεπώς υπάρχει όρος $\geq 2017$ .

dement · #3

Διαφορετικά:

Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι, για κάθε θετικό ακέραιο

, υπάρχουν

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, για κάθε δύο από αυτούς, η διαφορά τους είναι και διαιρέτης του καθενός.

Για n=1

ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για n=k

.

Για

παίρνουμε

αριθμούς

με την επιθυμητή ιδιότητα και με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι k+1

αριθμοί

έχουν την επιθυμητή ιδιότητα, ολοκληρώνοντας την επαγωγή.

Από την ιδιότητα της ακολουθίας, οι όροι $a_{b_1}, a_{b_2}, ..., a_{b_k}$ (όπου b_1, b_2, ..., b_k

αριθμοί με την προαναφερθείσα ιδιότητα) πρέπει να είναι ανά δύο διαφορετικοί. Αφού το

είναι αυθαίρετο και η ακολουθία παίρνει τιμές στους θετικούς ακεραίους, έπεται ότι είναι μη φραγμένη άνω (το οποίο συνεπάγεται και το ζητούμενο).

#4

ksofsa έγραψε:Εύκολα δείχνουμε ότι επειδή οι ακολουθίες έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α, υπάρχουν 2017 όροι της ακολουθίας α, ώστε ανά δύο να είναι διαφορετικοί.

Δεν είμαι σίγουρος γι' αυτό. Π.χ. αν όλες ακολουθίες πάνε εναλλάξ 1,2

τότε έχουν ανά δύο την ιδιότητα Α αλλά δεν ισχύει το συμπέρασμα.

Ακολουθία ακεραίων

Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Re: Ακολουθία ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση