Σελίδα 1 από 1
Putnam 2007/A3
Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2016 5:00 pm
από Demetres
Έστω θετικός ακέραιος
.
Γράφουμε τους αριθμούς
με μια τυχαία σειρά στον πίνακα. Ποια είναι η πιθανότητα σε κάθε φάση αυτής της διαδικασίας το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα να μην είναι πολλαπλάσιο του
;
Re: Putnam 2007/A3
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 29, 2016 11:34 am
από dement
Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του
, αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του
. Αν αρχίζει με αριθμό ισότιμο με
, τότε η διάταξη (
), εκτός των μηδενικών, θα πρέπει να είναι
, που είναι αδύνατον αφού έχουμε
ισοτιμίες με
και
ισοτιμίες με
.
Άρα η διάταξη εκτός των μηδενικών είναι
. Υπάρχουν
διατάξεις των
και
διατάξεις των
. Στη συνέχεια, έχουμε
επιλογές θέσης για το πρώτο
,
επιλογές για το δεύτερο
, ... ,
επιλογές για το
-οστό.
Έτσι, συνολικά η πιθανότητα (από
διατάξεις) είναι
.
Re: Putnam 2007/A3
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 29, 2016 12:13 pm
από Demetres
dement έγραψε:Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του
, αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του
.
Την θεωρώ δύσκολη άσκηση. Αυτή η απλή παρατήρηση είναι και το κλειδί της λύσης.